Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7244139

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej równa się sumie pól obu podstaw. Oblicz tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.


PIC


Rysunek specjalnie narysowaliśmy trochę nietypowo (graniastosłup leży na ścianie bocznej) – dzięki temu lepiej widać jak wygląda rzut przekątnej ściany bocznej na sąsiednią ścianę, w szczególności widać, że rzut S wierzchołka C′ to środek krawędzi  ′ ′ A B .

Powinno być jasne, że podany warunek wyznacza jednoznacznie graniastosłup z dokładnością do skali, tzn. wyznacza kształt graniastosłupa. Mówiąc dokładniej, z dokładnością do skali, graniastosłup jest wyznaczony przez stosunek wysokości do krawędzi podstawy. Jest jasne, że tylko dla jednego takiego stosunku będzie spełniony podany warunek. Takie przemyślenia nie są niezbędne do rozwiązania zadania, ale dobrze jest wiedzieć co jest grane – dlaczego szukany tangens da się wyliczyć, pomimo, że nie jest podana żadna wartość liczbowa.

Ponieważ zmiana skali nie zmienia treści zadania (tzn. nie zmienia ani założeń ani tezy), możemy sobie założyć, że krawędź podstawy ma długość 1. Jeżeli ktoś nie jest przekonany, że można tak zrobić, to może sobie założyć, że ta krawędź ma długość a i wszystkie wyliczone przez nas długości odcinków będzie musiał pomnożyć przez a .

Pole powierzchni bocznej to suma pól trzech prostokątów o polu 1⋅H , gdzie H – wysokość graniastosłupa, czyli pole powierzchni bocznej jest równe 3H . Suma pól podstaw to suma pól dwóch trójkątów równobocznych o boku 1, mamy więc równanie

 √ -- √ -- --3- --3- 3H = 2 ⋅ 4 ⇒ H = 6 .

Liczymy teraz długość odcinka AS

 2 ′2 ′ 2 AS = (AA ) + (A S) 2 -1- 1- AS = 12 + 4 √ -- AS 2 = -4-= 1-= 3- ⇒ AS = --3-. 12 3 9 3

Odcinek  ′ C S to wysokość w trójkącie równobocznym, zatem

 √ -- C ′S = --3-. 2

Możemy więc wyliczyć szukany tangens

 √ 3 C′S- -2- 3- tg α = AS = √-3 = 2 . 3

 
Odpowiedź: 32

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!