/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 7795882

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt, w którym wysokość ma długość √ -- 2 3 . Przekątne ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt α taki, że cosα = 11 13 . Oblicz objętość graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy przez a , to z podanej wysokości podstawy mamy

√ -- a--3- √ -- 2 = 2 3 ⇒ a = 4 .

Sposób I

Aby móc wykorzystać trójkąt BED musimy znać α sin 2 . Można go łatwo obliczyć z podanego cosinusa i wzoru na cosinus podwojonego kąta.

cosα = 1− 2sin2 α- 2 2 α 11- -2- α- -1--- 2 sin 2 = 1 − 13 = 13 ⇒ sin 2 = √ 13.

Patrzymy teraz na trójkąt BED .

BE-- α- --1-- √ --- √ --- DB = sin 2 = √ --- ⇒ DB = 13 ⋅BE = 2 13. 13

Patrzymy teraz na trójkąt ABD

∘ ------------ √ -------- AD = DB 2 − AB 2 = 52 − 16 = 6.

Liczymy teraz objętość

2√ -- √ -- -- V = a---3-⋅AD = 16--3-⋅6 = 2 4√ 3. 4 4

Sposób II

Długość odcinka DB = x mogliśmy też obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD – nie musimy wtedy się bawić w kąty połówkowe.

2 2 2 BD + DC − 2BD ⋅DC cos α = BC 2 2 2 11- x + x − 2x ⋅ 13 = 1 6 ( ) x2 1+ 1− 22- = 1 6 13 2 4 x ⋅ ---= 16 13 √ --- x2 = 16 ⋅ 13-= 4⋅1 3 ⇒ x = 2 13. 4

Dalej liczymy jak poprzednio.

Sposób III

Jeszcze inny sposób to skorzystanie ze związku cosinusa i tangensa połowy kąta.

2 α cos α = 1-−-tg--2. 1 + tg2 α2

Wzór ten można znaleźć w tablicach. Mamy wtedy

11- 1−-tg2-α2- 13 = 1+ tg2 α 2 1 1+ 1 1tg2 α-= 1 3− 1 3tg2 α- 2 2 2 α- α- --1-- --1-- 2 4tg 2 = 2 ⇒ tg 2 = √ ---= √ -. 12 2 3

To nam pozwala łatwo obliczyć długość odcinka DE .

BE α 2 √ -- DE--= tg 2- ⇒ DE = -1√-- = 4 3. 2 3

Stąd

√ -- √ -- AE = 4--3-= 2 3 ∘ 2------------ √ -------- √ --- AD = DE 2 − AE 2 = 48 − 1 2 = 36 = 6

Objętość liczymy tak samo jak w poprzednim sposobie.

Sposób IV

Niech AD = H będzie wysokością graniastosłupa. W trójkącie prostokątnym ABD mamy wtedy

BD 2 = AD 2 + AB 2 = H 2 + 16.

Stąd

∘ ------------ ∘ ------------ ∘ --------- DE = DB 2 − BE 2 = H 2 + 1 6− 4 = H 2 + 12.

Zauważmy jeszcze, że

∘ -------- √ --- √ -- ∘ -------2-- 121 48 4 3 sinα = 1 − cos α = 1− 169-= -13--= -13-.

Obliczyliśmy sin α , bo chcemy skorzystać ze wzoru na pole z sinusem w trójkącie BCD . Mamy zatem

BC ⋅ DE = 2P = DB ⋅ DC sin α BCD √ -- ∘ --2------ 2 4--3- 13- 4 H + 12 = (H + 16) ⋅ 13 / ⋅ 4 ∘ --------- √ -- 2 2 1 3 H 2 + 12 = 3(H + 16) /() 16 9H 2 + 2 028 = 3H 4 + 96H 2 + 768 0 = 3H 4 − 73H 2 − 126 0.

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe, więc podstawiamy t = H 2 i mamy

0 = 3t2 − 73t − 1260 Δ = 53 29+ 15120 = 20449 = 1 432 7 3− 143 73+ 143 t = --------- < 0 lub t = ---------= 36. 6 6

Mamy zatem 2 H = 36 , czyli H = 6 . Objętość graniastosłupa jest więc równa

2√ -- √ -- √ -- V = a----3⋅ H = 16--3-⋅6 = 24 3. 4 4

 
Odpowiedź: √ -- 24 3

Wersja PDF