Zadanie nr 8576305
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa . Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka . Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Zauważmy najpierw, że
więc na pewno nie jest najdłuższym bokiem trójkąta równoramiennego . To oznacza, że jest kątem ostrym i
Sposób I
Zauważmy, że dość łatwo jest obliczyć długość przekątnej ściany bocznej – piszemy w tym celu twierdzenie cosinusów w trójkącie .
Obliczamy teraz wysokość graniastosłupa.
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest więc równe
Sposób II
Tym razem spróbujemy sobie poradzić bez twierdzenia cosinusów. Zamiast tego, spróbujemy skorzystać z trójkąta prostokątnego . Aby móc to zrobić potrzebny nam jest . Można go łatwo obliczyć z cosinusa kąta i wzoru na cosinus podwojonego kąta.
Patrzymy teraz na trójkąt .
Wysokość graniastosłupa i jego pole powierzchni całkowitej obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: