Zadanie nr 2123888
W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym poprowadzono płaszczyznę, która przechodzi przez dłuższą przekątną dolnej podstawy oraz przez jedną z krawędzi górnej podstawy. Płaszczyzna ta wyznacza przekrój graniastosłupa, który jest trapezem równoramiennym. Wiedząc, że w trapez ten można wpisać okrąg o promieniu 1, oblicz objętość graniastosłupa.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Oznaczmy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez .
Ponieważ podstawa graniastosłupa składa się z 6 trójkątów równobocznych, długość przekątnej jest równa
. Zatem podstawy trapezu
mają długości
i
. Jak wiemy, w trapez można wpisać okrąg, więc ramiona muszą mieć długości
(żeby sumy przeciwległych boków były równe). Ponadto

gdzie jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka
. Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie
.

Zatem pole podstawy graniastosłupa jest równe

Wysokość graniastosłupa obliczamy z trójkąta prostokątnego .

Liczymy objętość

Odpowiedź: