Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2123888

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym poprowadzono płaszczyznę, która przechodzi przez dłuższą przekątną dolnej podstawy oraz przez jedną z krawędzi górnej podstawy. Płaszczyzna ta wyznacza przekrój graniastosłupa, który jest trapezem równoramiennym. Wiedząc, że w trapez ten można wpisać okrąg o promieniu 1, oblicz objętość graniastosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Oznaczmy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez a .

Ponieważ podstawa graniastosłupa składa się z 6 trójkątów równobocznych, długość przekątnej AB jest równa 2a . Zatem podstawy trapezu ABCD mają długości a i 2a . Jak wiemy, w trapez można wpisać okrąg, więc ramiona muszą mieć długości 3a- 2 (żeby sumy przeciwległych boków były równe). Ponadto

AE = AB-−--CD--= a, 2 2

gdzie E jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka D . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AED .

 2 2 2 AE + ED = AD a2 9a2 ---+ 4 = ---- 4 4 √ -- 4 = 2a 2 ⇒ a = 2.

Zatem pole podstawy graniastosłupa jest równe

 √ -- √ -- a2 3 2 3 √ -- Pp = 6 ⋅------= 3⋅ -----= 3 3. 4 2

Wysokość graniastosłupa obliczamy z trójkąta prostokątnego FDA .

 9a2 5a 2 10 F D 2 = AD 2 − AF 2 = ----− a2 = ----= --- √ --- 4 4 4 10 F D = -2--.

Liczymy objętość

 √ --- √ --- √ -- 10 3 30 V = Pp ⋅FD = 3 3⋅ -----= -----. 2 2

 
Odpowiedź:  -- 3√-30 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!