/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy sześciokątny

Zadanie nr 4540168

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEF GHIJKL płaszczyzna ABQ przechodzi przez krawędź AB i przez środek Q krawędzi DJ (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Stosunek pola przekroju graniastosłupa płaszczyzną ABQ do pola jego podstawy jest równy 178 . Oblicz objętość graniastosłupa ABCDEF GHIJKL , jeżeli jego krawędź boczna ma długość b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez a . Każda z podstaw graniastosłupa składa się więc z 6 trójkątów równobocznych o boku długości a .


ZINFO-FIGURE


W szczególności

 √ -- √ -- a2--3- 3a2--3- PABCDEF = 6 ⋅ 4 = 2 .

Sposób I

Oznaczmy ∡RAE = α – jest to kąt nachylenia płaszczyzny ABQ do płaszczyzny podstawy. Mamy zatem

 a√3- √ -- AE--= co sα ⇒ AR = -AE-- = 2⋅--2--= a--3-. AR co sα cosα cos α

Sześciokąt ABP QRS składa się z dwóch przystających trapezów równoramiennych: ABP S i SP QR . Jego pole jest więc równe

 √ -- 2√ -- AB--+-P-S AR-- -a--3-- 3a---3- PABPQRS = 2PABPS = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = (a+ 2a)⋅ 2co sα = 2co sα.

Znamy stosunek pola przekroju do pola podstawy – to pozwoli nam obliczyć cosα .

 2√- 17- PABPQRS-- 32acos3α- --1-- -8- 8 = P = 3a2√3 = cos α ⇒ cosα = 17 . ABCDEF 2

Patrzymy jeszcze raz na trójkąt AER . Jeżeli byśmy znali tg α , to moglibyśmy powiązać długość krawędzi bocznej z krawędzią podstawy. Obliczamy więc tg α (α jest oczywiście kątem ostrym).

 ∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- sin α = 1− cos2α = 1 − -64- = 225-= 15- 28 9 289 17 sin α 15 15 tg α = -----= 178-= ---. cosα 17 8

Mamy zatem

1 5 RE b2 b -8- = tgα = AE--= ---a√3-= --√--- 2 ⋅-2-- 2a 3 b 8 4b a = -√---⋅ ---= --√--. 2 3 15 15 3

Objętość graniastosłupa jest więc równa

 2√ -- √ -- ( ) 2 3a---3- 3---3 -4b√--- V = PABCDEF ⋅BH = 2 ⋅b = 2 ⋅ 15 3 ⋅ b = √ -- 2 √ -- = 3--3-⋅-16b---⋅b = 8--3-⋅b3. 2 22 5⋅3 225

Sposób II

Trójkąt AER jest prostokątny, więc

 ┌│ (-----√--)-2---(--)--- ∘ --------- ∘ ------------ │∘ a 3 b 2 b2 AR = AE 2 + ER 2 = 2⋅ ----- + -- = 3a2 + --. 2 2 4

Sześciokąt ABP QRS składa się z dwóch przystających trapezów równoramiennych: ABP S i SP QR . Jego pole jest więc równe

PABPQRS = 2PABPS = 2 ⋅ AB-+-P-S ⋅ AR-= ∘ --2------ 2 ∘ --------- 1 b2 3a b2 = (a+ 2a)⋅ --⋅ 3a2 + ---= ---⋅ 3a 2 + --- 2 4 2 4

Znamy stosunek pola przekroju do pola podstawy – to pozwoli nam powiązać ze sobą a i b .

 ∘ --------- ∘ --------- 17 P 3a ⋅ 3a 2 + b2- 3a 2 + b2- ---= -ABPQRS--= -2-----√-----4-= ----√----4- /()2 8 PABCDEF 3a2-3 a 3 ( 2) 2 289 ⋅a2 ⋅3 = 64⋅ 3a 2 + b-- 4 16 675a 2 = 16b2 ⇒ a2 = ---b2. 675

Liczymy teraz objętość graniastosłupa.

 √ -- √ -- √ -- 3a2 3 3 3 16 2 8 3 3 V = PABCDEF ⋅BH = ---2---⋅b = -2---⋅67-5b ⋅ b = -225-⋅b .

 
Odpowiedź:  √ - V = 82253⋅b 3

Wersja PDF
spinner