Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5913383

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym poprowadzono płaszczyznę, która przechodzi przez krawędź podstawy oraz przez środek symetrii graniastosłupa. Płaszczyzna ta wyznacza przekrój o polu równym  √ -- 48 2 . Stosunek wysokości graniastosłupa do długości krawędzi podstawy jest równy √ -- 5 . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Niech a będzie długością krawędzi podstawy, a  √ -- H = a 5 wysokością graniastosłupa. W szczególności, każda z podstaw graniastosłupa jest sześciokątem foremnym składającym się z 6 trójkątów równobocznych o boku a .

Przekrój, o którym mowa w treści zdania jest sześciokątem, którego dwa przeciwległe boki są krawędziami podstaw graniastosłupa, a dwa przeciwległe wierzchołki C,D są środkami krawędzi bocznych graniastosłupa. Sześciokąt ten składa się z dwóch przystających trapezów równoramiennych, więc

 1- √ -- √ -- PABCD = 2 ⋅48 2 = 24 2.

Zanim wykorzystamy tę informację spróbujmy wyznaczyć wysokość trapezu ABCD . W trójkącie prostokątnym SEF mamy

 ┌ ---------------------- │ ( √ -) 2 ( √ --) 2 ∘ ---------- √ -- ∘ ---2-----2- │∘ a--3- a--5- 3a-2 +-5a-2 2--2a- SE = EF + SF = 2 + 2 = 4 = 2 .

Ponadto dłuższa podstawa CD trapezu ABCD ma taką samą długość jak dłuższa przekątna sześciokąta w podstawie graniastosłupa, czyli CD = 2a . Zapisujemy teraz podaną informację o polu trapezu ABCD .

 √ -- √ -- √ --2 24 2 = PABCD = AB--+--CD- ⋅SE = a-+-2a-⋅ 2--2a = 3---2a- √ -- 2 2 2 2 2 48 2 a = -√----= 16 ⇒ a = 4 . 3 2

Objętość graniastosłupa jest więc równa

 √ -- a2--3- √ -- √ -- √ -- √ --- V = 6 ⋅ 4 ⋅a 5 = 6⋅4 3 ⋅4 5 = 96 15.

 
Odpowiedź:  --- 96√ 1 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!