Zadanie nr 5913383

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym poprowadzono płaszczyznę, która przechodzi przez krawędź podstawy oraz przez środek symetrii graniastosłupa. Płaszczyzna ta wyznacza przekrój o polu równym √ -- 48 2 . Stosunek wysokości graniastosłupa do długości krawędzi podstawy jest równy √ -- 5 . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Niech będzie długością krawędzi podstawy, a √ -- H = a 5 wysokością graniastosłupa. W szczególności, każda z podstaw graniastosłupa jest sześciokątem foremnym składającym się z 6 trójkątów równobocznych o boku .

Przekrój, o którym mowa w treści zdania jest sześciokątem, którego dwa przeciwległe boki są krawędziami podstaw graniastosłupa, a dwa przeciwległe wierzchołki C,D są środkami krawędzi bocznych graniastosłupa. Sześciokąt ten składa się z dwóch przystających trapezów równoramiennych, więc

1- √ -- √ -- PABCD = 2 ⋅48 2 = 24 2.

Zanim wykorzystamy tę informację spróbujmy wyznaczyć wysokość trapezu ABCD . W trójkącie prostokątnym SEF mamy

┌ ---------------------- │ ( √ -) 2 ( √ --) 2 ∘ ---------- √ -- ∘ ---2-----2- │∘ a--3- a--5- 3a-2 +-5a-2 2--2a- SE = EF + SF = 2 + 2 = 4 = 2 .

Ponadto dłuższa podstawa trapezu ABCD ma taką samą długość jak dłuższa przekątna sześciokąta w podstawie graniastosłupa, czyli CD = 2a . Zapisujemy teraz podaną informację o polu trapezu ABCD .