Zadanie nr 6290311

Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 6 0∘ . Przekątna ściany bocznej ma długość √ --- 4 10 .

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Oblicz cosinus kąta między krótszymi przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaznaczmy na rysunku kąt nachylenia przekątnej i dorysujmy przekątne podstawy.

Zauważmy, że przekątne dzielą sześciokąt w podstawie na 6 trójkątów równobocznych i odcinek ma długość dwa razy większą od wysokości tych trójkątów. Jeżeli więc oznaczymy przez długość krawędzi podstawy, to
$√ -- a--3- √ -- BD = 2 ⋅ 2 = a 3$

Oznaczmy przez wysokość ostrosłupa i popatrzymy na trójkąt prostokątny .

$-- -- -- √ 3 = tg 60∘ = -H-- ⇒ H = a√ 3 ⋅√ 3 = 3a . BD$

Pozostało teraz wykorzystać podaną informację o długości przekątnej ściany bocznej – patrzymy na trójkąt prostokątny .

$′ 2 2 ′2 (A B ) = AB + (AA ) √ ---2 2 2 (4 10) = a + (3a ) 160 = 10a2 ⇒ a = 4 .$

Objętość graniastosłupa jest równa

$2√ -- √ --3 -- V = P ⋅H = 6 ⋅ a--3-⋅3a = 9--3a--= 288√ 3. p 4 2$

Pole powierzchni całkowitej jest równe

$2√ -- √ -- Pc = 2Pp + Pb = 2⋅6 ⋅ a--3-+ 6 ⋅aH = 3 3a2 + 18a2 = √ -- 4√ -- = 3a2( 3 + 6) = 48 ( 3+ 6).$

Odpowiedź: ,
Cosinus interesującego nas kąta obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie równoramiennym . Długość ramienia tego trójkąta obliczamy z trójkąta prostokątnego .
$-H--- ∘ BD ′ = sin6 0 H 1 2 24 BD ′ = ------∘ = √-- = √--. sin60 -23 3$

Ponadto

$√ -- √ -- D ′F′ = BD = a 3 = 4 3.$

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .

$(D ′F′)2 = (BD ′)2 + (BF′)2 − 2(BD ′)⋅ (BF′)⋅ cosα (D ′F′)2 = 2(BD ′)2 − 2(BD ′)2 ⋅co sα = 2 (BD ′)2(1− co sα) 576 48 = 2⋅ ---(1 − co sα) = 3 84(1− cosα ) 3 1− cosα = -48-= 1- ⇒ cos α = 7-. 384 8 8$

Odpowiedź: