Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6293889

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem α = 60∘ . Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się 8√ 3- . Zaznacz na poniższym rysunku kąt α . Oblicz objętość tego graniastosłupa.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od zazanczenia podanego kąta.


PIC


Aby obliczyć objętość graniastosłupa potrzebujemy znać jego wysokość H i pole podstawy. Podstawa składa się z 6 trójkątów równobocznych, oznaczmy długość ich boku przez a . Spróbujmy najpierw jakoś wykorzystać podaną informację o polu trójkąta ABC . W tym celu wyrazimy to pole w zależności od a i H .

Zauważmy, że odcinek AB jest dwa razy dłuższy niż wysokość trojkątów równobocznych, które są w podstawie. Zatem (ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym  a√-3 h = 2 )

 √ -- AB = a 3.

Natomiast wysykość CE trójkąta ABC wyliczamy z trójkąta prostokątnego CDE :

CD ---- = sin 60∘ CE √ -- H 3 CE--= -2-- CE = 2√H-- 3 2√ 3H CE = ------. 3

Możemy zatem zapisać warunek z polem:

 √ -- √ -- √ -- 1-a 3⋅ 2--3H--= 8 3 2 √ 3- aH = 8 3.

Skąd wziąć jeszcze jedno równanie? – jeszcze raz korzystamy z trójkąta CDE oraz z faktu, że  1 DE = 2a

DE ---- = ctg 60∘ DCa √ -- -2 --3- H = 3 √ -- a = 2--3H . 3

Z obu otrzymanych związków dostajemy

 √ -- √ -- 2--3-H ⋅H = 8 3 3 H 2 = 12 √ -- H = 2 3 √ -- a = 2--3H = 4. 3

Teraz bez problemu liczymy objętość (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego  √- P = a2-3 4 )

 2√ -- V = 6 ⋅ a--3-⋅H = √4-- √ -- = 6 ⋅4 3 ⋅2 3 = 144.

 
Odpowiedź: 144

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!