Zadanie nr 7645308

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o podstawie ABCDEF i polu powierzchni bocznej równym . Kąt między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z wierzchołka ma miarę . Objętość tego graniastosłupa jest równa

------------ ∘ 6 2 k ⋅ 4 -P--sin--α--, 3− 4sin2α

gdzie jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy oczywiście opisaną sytuację – niech ′ AF i ′ AB będą przekątnymi ścian bocznych, o których mowa w treści zadania. Oznaczmy też przez długość krawędzi postawy, przez długość przekątnej ściany bocznej, a przez wysokość graniastosłupa.

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Spróbujmy zacząć trochę od końca, żeby zobaczyć co tak naprawdę mamy obliczyć. Wiemy, że

-P- P = 6 ⋅PFAA ′F′ = 6aH ⇒ H = 6a .

Objętość graniastosłupa jest więc równa

√ -- √ -- √ -- a2 3 a2 3 P 3 V = Pp ⋅H = 6 ⋅------⋅H = 6 ⋅------⋅ ---= ----aP. 4 4 6a 4

Cała trudność polega teraz na wyrażeniu w zależności od i .

W trójkącie prostokątnym ′ AP F mamy

√ - √ -- √ -- F′P a2-3 a 3 a 3 sin α = AF--′ = -d--= -2d-- ⇒ d = 2sinα-.

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AA ′F′ .

d2 = H 2 + a2 --3a2--- -P2-- 2 4 sin 2α = 36a2 + a ( ) 2 ---3----− 1 a2 = -P--- 4sin2 α 36a2 ( 2 ) 2 3−--4sin--α- a4 = P-- 4sin2 α 36

Stąd

4 ------P-2------ ---P-2sin2α---- a = (3−-4sin2α) = 9 (3− 4 sin2α ) 36 ⋅ 4sin2α ∘ --------------- ∘ ------------ 4 ---P-2sin2α---- -1-- 4 -P2-sin-2α--- a = 9(3 − 4 sin 2α) = √ 3-⋅ 3− 4sin2α .

Wracamy teraz do wzoru na objętość graniastosłupa.

√ -- √ -- ∘ ------------ ∘ ------------ --3- --3- -1-- 4 --P2sin2-α-- 1- 4 --P6-sin-2α-- V = 4 aP = 4 ⋅P ⋅ √ -⋅ 3 − 4 sin 2α = 4 ⋅ 3 − 4 sin2α . 3

To oznacza, że k = 14 .

Sposób II

Jeżeli uwierzymy w informację podaną w treści zadania (a mamy prawo tak zrobić), to współczynnik w podanym wzorze na objętość

∘ ------------ 4 P 6sin2α k⋅ --------2--- 3 − 4sin α

nie zależy ani od ani wartości . Możemy więc go obliczyć przyjmując dowolnie te dwie wartości. Wybierzmy np. α = 30∘ i d = 2 . W takiej konﬁguracji trójkąt AB ′F′ jest trójkątem równobocznym o boku długości 2 i mamy