Zadanie nr 7962051
Przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość
i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Zaznaczmy na rysunku kąt nachylenia przekątnej i dorysujmy przekątne podstawy.
Zauważmy, że trójkąt jest prostokątny i równoramienny (bo kąt ostry ma miarę
) – jest to więc połówka kwadratu. Zatem

Ponadto .
Zauważmy, że przekątne dzielą sześciokąt w podstawie na 6 trójkątów równobocznych i odcinek ma długość dwa razy większą od wysokości tych trójkątów. Jeżeli więc oznaczymy przez
długość krawędzi podstawy, to

Pozostało obliczyć objętość

Odpowiedź: 288