/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy sześciokątny

Zadanie nr 7962051

Przekątna ′ AE graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość √ -- 4 6 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45∘ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaznaczmy na rysunku kąt nachylenia przekątnej i dorysujmy przekątne podstawy.

PIC

Zauważmy, że trójkąt AEE ′ jest prostokątny i równoramienny (bo kąt ostry ma miarę 45∘ ) – jest to więc połówka kwadratu. Zatem

√ -- √ -- √ -- 4 6 = AE ′ = EE ′ 2 ⇒ EE ′ = 4 3.

Ponadto √ -- AE = EE ′ = 4 3 .

Zauważmy, że przekątne dzielą sześciokąt w podstawie na 6 trójkątów równobocznych i odcinek AE ma długość dwa razy większą od wysokości tych trójkątów. Jeżeli więc oznaczymy przez a długość krawędzi podstawy, to

√ -- 4√ 3-= AE = 2 ⋅ a-3- ⇒ a = 4. 2

Pozostało obliczyć objętość

2√ -- ′ a----3 √ -- V = PABCDEF ⋅EE = 6⋅ 4 ⋅ 4 3 = 18 ⋅16 = 2 88.

 
Odpowiedź: 288

Wersja PDF