/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Dowolny

Zadanie nr 1356953

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF GH jest romb o boku długości 5, polu 24 i kącie ostrym ∡BAD . Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną AKLM w ten sposób, że otrzymany przekrój jest rombem o kącie ostrym |∡KAM | = 45 ∘ (zobacz rysunek). Oblicz pole tego przekroju.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy przekątną BD rombu w podstawie oraz przekątną KM rombu w przekroju.

PIC

Podane pole rombu pozwala łatwo obliczyć sinus kąta α = ∡BAD .

24 = PABCD = AB ⋅AD sinα ⇒ sinα = 24-. 25

Wiemy, że ten kąt jest ostry, więc

∘ ---------- ∘ -------- ∘ ---- co sα = 1− sin 2α = 1− 576-= -49- = -7-. 625 6 25 2 5

Teraz stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD i obliczamy długość przekątnej BD .

BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2AB ⋅AD cos α 7 BD 2 = 25 + 2 5− 5 0⋅ ---= 50 − 1 4 = 36 25 BD = 6.

Patrzymy teraz na trójkąt równoramienny AKM – znamy jego długość podstawy i kąt między ramionami. Napiszemy teraz w nim twierdzenie cosinusów tak, aby obliczyć długość jego ramienia AK = AM = x .

2 2 2 ∘ KM = AK + AM − 2√AK- ⋅AM cos 45 2 2 2 2 2 √ -- 36 = x + x − 2x ⋅----= x (2 − 2) 2 √ -- x2 = ---36√---= 36(2-+---2-)= 18(2 + √ 2). 2 − 2 4 − 2

Pole interesującego nas rombu AKLM jest więc równe

√ -- 1 ∘ 2 2 PAKLM = 2PAKM = 2⋅ --⋅x⋅ xsin 45 = x ⋅----= 2√ -- 2 = 18(2 + √ 2) ⋅--2-= 18(√ 2+ 1). 2

 
Odpowiedź: √ -- 18( 2 + 1 )

Wersja PDF