Zadanie nr 2199835

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEF , którego podstawą jest trójkąt ABC o kątach |∡CAB | = α i |∡CBA | = β . Przekątne i ścian bocznych tworzą kąt o mierze takiej, że tgδ = 490 (zobacz rysunek).

Pole trójkąta CED jest równe 4, a pole trójkąta CBA jest równe 12 tg(α + β ) . Oblicz wysokość tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podane informacje są trochę pogmatwane – ale skoro jest mowa o polach trójkątów i mamy informacje o kątach tych trójkątów, to pewnie będziemy korzystać ze wzoru na pole trójkąta z sinusem. Zajmijmy się najpierw trójkątem CED . Z podanego tangensa obliczamy sinus.

40- sinδ- 2 9 = tgδ = cosδ /() 2 2 1600-= sin--δ = --sin--δ-- 81 cos2 δ 1 − sin2 δ 1600(1 − sin2 δ) = 81 sin2 δ 160 0 = 1681 sin 2δ ⇒ sin δ = 40- 41

(tangens jest dodatni, więc jest kątem ostrym). Z podanego pola trójkąta CED mamy więc

4 = P = 1-CE ⋅CD ⋅ sin δ ⇒ CE ⋅CD = 2⋅-4 = 41-. CED 2 40 5 41

Nie widać na razie co dalej z tą informacją zrobić, więc zajmijmy się teraz trójkątem w podstawie. Jeżeli oznaczymy ∡ACB = γ , to

tg γ = tg (180∘ − (α + β)) = − tg (α+ β).

Oznaczmy teraz CB = a i CA = b . Ponownie korzystamy ze wzory na pole trójkąta z sinusem.

1ab sin γ = P = 1-tg(α + β) = − 1tg γ 2 ABC 2 2 sinγ-- ab sin γ = − cos γ ⇒ ab cos γ = − 1.

Otrzymane wyrażenie wygląda jak kawałek twierdzenia cosinusów, więc oznaczmy AB = c i napiszmy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

c2 = a2 + b2 − 2abco sγ = a2 + b2 + 2 .

Zauważmy teraz, że c = AB = DE jest też bokiem trójkąta CED . Wcześniej też otrzymaliśmy związek

41- CE ⋅ CD = 5

między bokami tego trójkąta. Spróbujmy jakoś powiązać te informacje ze sobą. Po raz kolejny będziemy chcieli zastosować twierdzenie cosinusów – tym razem w trójkącie CED , ale zanim to zrobimy zauważmy, że