/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Dowolny

Zadanie nr 2760617

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | , |AB | = 8 . Wysokość trójkąta ABC , poprowadzona z wierzchołka C , ma długość 3. Przekątna CE ściany bocznej tworzy z krawędzią CB podstawy ABC kąt 60∘ (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Stosujemy najpierw twierdzenie Pitagorasa, żeby obliczyć długość ramienia trójkąta w podstawie

∘ ------- √ ------- AC = BC = 32 + 42 = 9 + 16 = 5.

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny BEC i obliczamy wysokość graniastosłupa.

-- -- BE--= tg 60∘ = √ 3 ⇒ BE = 5√ 3. BC

Obliczamy teraz pole podstawy graniastosłupa.

Pp = 1-⋅AB ⋅3 = 12. 2

Objętość graniastosłupa jest więc równa

√ -- √ -- V = Pp ⋅ BE = 12 ⋅5 3 = 60 3.

Pole powierzchni całkowitej jest równe

√ -- √ -- Pc = 2Pp + Pb = 2 ⋅12+ (8+ 5+ 5)⋅5 3 = 24 + 90 3.

 
Odpowiedź: √ -- √ -- V = 60 3 ,Pb = 24 + 90 3

Wersja PDF