Zadanie nr 3780724
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb
. Przekątna
tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
, a przekątna
jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem
. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Patrzymy najpierw na trójkąt prostokątny . Mamy w nim
![√ -- √ -- √ -- AC---= cos30 ∘ = --3- ⇒ AC = --3-⋅8 = 4 3 AC ′ 2 2 CC-′- ∘ 1- ′ 1- AC ′ = sin 30 = 2 ⇒ CC = 2 ⋅8 = 4.](https://img.zadania.info/zad/3780724/HzadR1x.gif)
Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny . Ponieważ jeden z jego kątów ostrych ma miarę
jest równoramienny trójkąt prostokątny (połówka kwadratu). Zatem
![′ ′ BD = DD = CC = 4.](https://img.zadania.info/zad/3780724/HzadR4x.gif)
Obliczamy teraz pole rombu w podstawie – skorzystamy ze wzoru z przekątnymi.
![1 1 √ -- √ -- PABCD = --⋅BD ⋅AC = --⋅4 ⋅4 3 = 8 3. 2 2](https://img.zadania.info/zad/3780724/HzadR5x.gif)
Teraz z trójkąta prostokątnego w podstawie graniastosłupa obliczamy długość krawędzi podstawy.
![( ) 2 ( ) 2 AB 2 = 1-AC + 1-BD = 12 + 4 = 1 6 ⇒ AB = 4 . 2 2](https://img.zadania.info/zad/3780724/HzadR6x.gif)
Pole powierzchni bocznej jest więc równe
![′ Pb = 4 ⋅PABB ′A ′ = 4⋅AB ⋅CC = 4 ⋅4 ⋅4 = 64.](https://img.zadania.info/zad/3780724/HzadR7x.gif)
Pole powierzchni całkowitej jest więc równe
![√ -- Pc = 2PABCD + Pb = 16 3 + 64.](https://img.zadania.info/zad/3780724/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: