/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Dowolny

Zadanie nr 3780724

Podstawą graniastosłupa prostego ′ ′ ′ ′ ABCDA B C D jest romb ABCD . Przekątna AC ′ tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 ∘ , a przekątna BD ′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45∘ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Patrzymy najpierw na trójkąt prostokątny ′ ACC . Mamy w nim

√ -- √ -- √ -- AC---= cos30 ∘ = --3- ⇒ AC = --3-⋅8 = 4 3 AC ′ 2 2 CC-′- ∘ 1- ′ 1- AC ′ = sin 30 = 2 ⇒ CC = 2 ⋅8 = 4.

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny BDD ′ . Ponieważ jeden z jego kątów ostrych ma miarę ∘ 4 5 jest równoramienny trójkąt prostokątny (połówka kwadratu). Zatem

′ ′ BD = DD = CC = 4.

Obliczamy teraz pole rombu w podstawie – skorzystamy ze wzoru z przekątnymi.

1 1 √ -- √ -- PABCD = --⋅BD ⋅AC = --⋅4 ⋅4 3 = 8 3. 2 2

Teraz z trójkąta prostokątnego w podstawie graniastosłupa obliczamy długość krawędzi podstawy.

( ) 2 ( ) 2 AB 2 = 1-AC + 1-BD = 12 + 4 = 1 6 ⇒ AB = 4 . 2 2

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

′ Pb = 4 ⋅PABB ′A ′ = 4⋅AB ⋅CC = 4 ⋅4 ⋅4 = 64.

Pole powierzchni całkowitej jest więc równe

√ -- Pc = 2PABCD + Pb = 16 3 + 64.

 
Odpowiedź: √ -- Pc = 1 6 3+ 64

Wersja PDF