/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Dowolny

Zadanie nr 6107689

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA 1B1C1D 1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R . Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza ma długość a (zobacz rysunek). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α . Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R , długości podstawy a i miary kąta α .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że trójkąt ABC jest prostokątny – tak jest, bo kąt ACB jest oparty na średnicy.

PIC

Dorysujmy wysokości DE i CF trapezu. Mamy zatem

AF = AE + EF = 2R-−-a-+ a = 2R-+--a = R + a. 2 2 2

Ponadto, trójkąt prostokątny AF C jest podobny do trójkąta ACB (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku A ). Z tego podobieństwa mamy

AF--= AC-- AC AB ( 2R + a ) AC 2 = AF ⋅AB = ------- ⋅2R = 2R 2 + aR ∘ ---------- 2 AC = 2R2 + aR .

To pozwala obliczyć wysokość graniastosłupa ABCDA B C D 1 1 1 1 – patrzymy na trójkąt prostokątny ACC 1 .

CC ∘ ---------- ---1-= tg α ⇒ CC 1 = AC tg α = 2R 2 + aR ⋅tg α. AC

Musimy jeszcze obliczyć pole trapezu w podstawie graniastosłupa – do tego potrzebna nam będzie długość wysokości CF . Patrzymy na trójkąt prostokątny AF C .

∘ ------------ ∘ ------------(-------)2 CF = AC 2 − AF 2 = 2R 2 + aR − R + a- = ∘ -------------------------- ∘ ----2--- --------- a2 a2 √ 4R2 − a2 = 2R 2 + aR − R 2 − aR − --= R 2 − ---= -----------. 4 4 2

Pole trapezu ABCD jest więc równe

√ --------- √ --------- AB--+--CD- 2R--+-a --4R-2 −-a2 (2R--+-a)--4R-2 −-a2 PABCD = 2 ⋅CF = 2 ⋅ 2 = 4 .

Objętość graniastosłupa ABCDA 1B1C1D 1 jest więc równa

√ --2----2- ∘ ---------- V = PABCD ⋅ CC ′ = (2R-+-a-)--4R--−-a--⋅ 2R 2 + aR ⋅tg α = ∘ -------------4-------------- (2R + a) (2R − a)(2R + a)R (2R + a) = ---------------------------------------⋅tg α = ∘ -----4----- = 1(2R + a)2 R (2R − a) ⋅tgα . 4

 
Odpowiedź: V = 1(2R + a)2∘R--(2R-−-a-)⋅tg α 4

Wersja PDF