/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Dowolny

Zadanie nr 9072314

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA 1B 1C1D 1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R . Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze 2α (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α . Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R i miary kąta α .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od obliczenia długości boków trapezu.

PIC

Wiemy, że AB = 2R jest średnicą opisanego na nim okręgu. Na mocy twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym,

∡DAC = 1-∡DOC = α, 2

więc na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie ADC mamy

----CD-----= 2R ⇒ CD = 2R sin α. sin ∡DAC

Łatwo też obliczyć wysokość h = CE trapezu – patrzymy na trójkąt prostokątny COE .

CE--= sin ∡COE ⇒ h = CE = R sin (90∘ − α) = R cos α. CO

W tym miejscu możemy już obliczyć pole trapezu ABCD .

AB-+--CD-- 2R-+-2R-sin-α- PABCD = 2 ⋅h = 2 ⋅R cosα = 2 = R (1+ sin α) cosα .

Do obliczenia objętości graniastosłupa potrzebna nam jeszcze jego wysokość, a do jej obliczenia będzie nam potrzebna długość ramienia trapezu. Obliczymy tą długość na dwa różne sposoby.

Sposób I

Raz jeszcze korzystamy z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym i mamy

1- 1- ∘ ∘ α- ∡CAB = 2∡COB = 2 (90 − α) = 45 − 2.

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie CAB .

( ) ---BC----- ∘ α- sin ∡CAB = 2R ⇒ BC = 2R co s 4 5 − 2 .

Obliczamy teraz wysokość graniastosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny BCB 1 .

( ) BB-1 ∘ α- BC = tgα ⇒ BB 1 = BC tg α = 2R co s 4 5 − 2 tg α.

Objętość graniastosłupa jest więc równa

2 ( ∘ α) V = PABCD ⋅BB 1 = R (1+ sin α) cosα ⋅2R cos 45 − 2 tgα = ( α) sinα = 2R 3(1+ sin α)c os 45∘ − -- cos α⋅ ----- = ( 2 ) cosα = 2R 3sinα (1+ sin α)co s 45∘ − α- . 2

Sposób II

Tym razem popatrzmy na trójkąt równoramienny BOC i piszemy w nim twierdzenie cosinusów.

BC 2 = BO 2 + CO 2 − 2BO ⋅CO ⋅cos(90 ∘ − α ) ∘ ---------------- √ ----------- BC = 2R 2 − 2R 2sin α = R 2 − 2sin α.

Obliczamy teraz wysokość graniastosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny BCB 1 .

BB-1 √ ----------- BC = tgα ⇒ BB 1 = BC tg α = R 2− 2sin αtg α.

Objętość graniastosłupa jest więc równa

2 √ ----------- V = PABCD ⋅BB 1 = R (1 + sin α)co sα ⋅R 2− 2 sinα tgα = 3 √ ----------- sin-α = R (1 + sin α) 2− 2sin αco sα ⋅cos α = 3 √ ----------- = R sin α(1 + sin α) 2− 2sin α.

 
Odpowiedź: 3 ( ∘ α) 3 √ ----------- V = 2R sin α(1 + sinα )cos 45 − 2 = R sin α(1 + sinα ) 2− 2sinα

Wersja PDF