/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 15 marca 2014 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |x| |x− 1| |x−2| -x-+ x−-1-+ -x−2-< 3 .

Zadanie 2
(3 pkt)

Dany jest prostokąt o polu 12, w którym długość przekątnej jest liczbą z przedziału ⟨5 ,6 ⟩ . Wykaż, że obwód tego prostokąta jest liczbą z przedziału √ --- ⟨14,4 15 ⟩ .

Zadanie 3
(4 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = log 2+x2−x-−x32 3−x (x+ 2) .

Zadanie 4
(4 pkt)

W trójkącie ABC środkowa AD jest prostopadła do boku AC . Kąt BAC ma miarę 120∘ oraz |AB | = 2|AC | = 2a . Oblicz długość odcinka AD .

Zadanie 5
(4 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu 5 4 3 2 P(x ) = x + ax + bx + cx + dx + 1 przez dwumian (x − 3) jest równa 1. Wykaż, że jeżeli liczby a,b ,c,d są liczbami całkowitymi to wielomian P (x) nie ma pierwiastków wymiernych.

Zadanie 6
(4 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 3 n + 5n jest podzielna przez 6.

Zadanie 7
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 i x2 równania 2 x + 2x + m = 0 spełniają nierówność 3 3 2 x 1 + x2 > m − 2 4 .

Zadanie 8
(4 pkt)

Ciągi (an) i (bn) , gdzie n ≥ 1 są ciągami arytmetycznymi. Wykaż, że jeżeli ciąg (cn) zdefiniowany wzorem cn = an ⋅bn (n ≥ 1 ) jest ciągiem arytmetycznym, to różnica jednego z ciągów (an) lub (bn) jest równa zeru.

Zadanie 9
(5 pkt)

Rozwiąż równanie (cos 2x + cos x)2 + (cosx + 1)2 = cos2x − 2 cos2x w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 10
(5 pkt)

Ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, których zapis dziesiętny składa się z trzech różnych cyfr?

Zadanie 11
(4 pkt)

Trójkąt o wierzchołkach A = (2,− 1),B = (7,6),C = (7,0) przekształcono w jednokładności o skali − 2 i otrzymano trójkąt o wierzchołkach A ′B ′C′ . Wyznacz współrzędne punktów ′ B i ′ C jeżeli ′ A = (1 1,11) .

Zadanie 12
(5 pkt)

Trzy parami styczne kule o promieniach równych r znajdują się w walcu w ten sposób, że każda z kul jest styczna do obu podstaw walca, oraz do jego powierzchni bocznej. Oblicz objętość walca.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania