/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Lubelska próba przed maturą
z matematyki (dla klas trzecich)
poziom rozszerzony 24 stycznia 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Niech a i b będą długościami kolejnych boków równoległoboku ABCD , zaś p i r długościami jego przekątnych. Wykaż, że a 2 + b2 ≥ pr .

Zadanie 2
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których równanie |x + 2 |− |x| = a nie ma rozwiązania.

Zadanie 3
(4 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia √9x2+6x+1- √9x2+6x3+x4- 3x+ 1 + 5x2+ 15x dla x ∈ (− ∞ ,− 3) .

Zadanie 4
(5 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji f (x) = logxx−+13(x3 − x2 − 8x + 1 2) .

Zadanie 5
(5 pkt)

Rozwiąż układ równań { x+ 1x = 2y 1 y+ y = 2x.

Zadanie 6
(3 pkt)

W trójkącie ABC dwa kąty przy wierzchołkach A i B mają odpowiednio miary: ∘ 6 0 i ∘ 45 . Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że długość boku AC jest równa √ -- 6 3 .

Zadanie 7
(6 pkt)

Znajdź taki punkt C , leżący na prostej y = x − 1 , aby pole trójkąta ABC , którego wierzchołkami są punkty: C,A (2,1),B (5,2) było równe 5.

Zadanie 8
(5 pkt)

Dla jakiego α ∈ ⟨0,2π ⟩ pierwiastki równania

x 2 − 2x cos α− sin 2α = 0

spełniają warunek x21 + x22 = 3 ?

Zadanie 9
(5 pkt)

Wykaż, że objętość sześcianu jest sześć razy większa od objętości ośmiościanu foremnego, wyznaczonego przez środki ścian tego sześcianu.

Zadanie 10
(4 pkt)

Na trzy półki kładziemy losowo 5 książek. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jedna (i tylko jedna) z półek zostanie pusta?.

Zadanie 11
(4 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an) wynosi 1. Dla jakiej wartości różnicy r wyrażenie a 2a4 + a 1a 3 ma wartość najmniejszą i ile ona wynosi?

Wersja PDF
Rozwiązania