/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 1 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 5100 + 5100 + 5 100 + 5100 + 5100 jest równa
A) 500 5 B) 500 25 C) 100 25 D) 101 5

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba x stanowi 80% liczby dodatniej y . Zatem 16% liczby y jest równe
A) 25%x B) 80%x C) 20 %x D) 120 %x

Zadanie 3
(1 pkt)

Tomek ma w skarbonce wyłącznie monety dwuzłotowe i pięciozłotowe. W sumie ma w skarbonce 351 zł. Gdyby dołożył do skarbonki 10 monet pięciozłotowych i dwie monety dwuzłotowe, to miałby w skarbonce dwa razy więcej monet dwuzłotowych, niż monet pięciozłotowych. Jeżeli oznaczymy przez x liczbę monet pięciozłotowych, a przez y liczbę monet dwuzłotowych w skarbonce Tomka, to liczby x i y spełniają układ równań
A) { 5y+ 2x = 35 1 y+ 2 = 2(x + 10) B) { 5x+ 2y = 35 1 2(x+ 10) = y + 2
C) { 5x + 2y = 351 x + 1 0 = 2(y + 2) D) { 5y+ 2x = 35 1 y+ 10 = 2(x + 2)

Zadanie 4
(1 pkt)

Jeżeli √ -- a− 1 = 3 a to liczba 2 1- a + a2 jest równa
A) 9 B) 5 C) 1 D) 3

Zadanie 5
(2 pkt)

Na rysunku przedstawiono trapez ABCD o podstawach AB i CD , w którym |AB | = 1 2 i |CD | = 8 .

PIC

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Pola trójkątów utworzonych przez przekątne trapezu i jego boki spełniają równość
A) PAED = PBEC B) PABE = 2PCDE C) 2PABD = 5PAED

D) P = 3P ABE BEC E) 2P = 3P ABE CDE F) PBEC = 2PCDE

Zadanie 6
(1 pkt)

Dany jest wielomian W (x) = − 2x3 + 2kx2 + 3x − 5k − 1 gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba (−2 ) nie jest pierwiastkiem tego wielomianu. Zatem
A) k ⁄= 3 B) k > 0 C) k + 3 ⁄= 0 D) k = − 3

Zadanie 7
(1 pkt)

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są parzyste i podzielne przez 25, jest
A) 9 ⋅10 ⋅2 B) 9 ⋅9⋅2 C) 9 ⋅9 ⋅4 D) 9 ⋅10 ⋅4

Informacja do zadań 8.1 i 8.2

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax 2 + bx+ c . Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , ma współrzędne (− 4,7) . Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne (− 6,0) .

PIC
Zadanie 8.1
(1 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji f .

Zadanie 8.2
(2 pkt)

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.

Zadanie 9
(1 pkt)

Firma przeprowadziła badania dotyczące wpływu zmiany dziennego kosztu produkcji K swojego produktu w zależności od liczby N wyprodukowanych jednego dnia sztuk produktu. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie dziennej produkcji o 10 sztuk produktu, powoduje wzrost dziennego kosztu produkcji o 15 jednostek. Ponadto, przy produkcji na poziomie 10 sztuk dziennie dzienny koszt produkcji jest równy 60 jednostek. Funkcja, która opisuje zależność dziennego kosztu produkcji przedmiotu od dziennej liczby produkowanych sztuk, ma wzór
A) N = − 34 K2 + 25 B) N = 32K + 45
C) 3 2 K = − 4N + 25 D) 3 K = 2N + 45

Zadanie 10
(1 pkt)

Ciąg (a,b,c,d) ma wszystkie wyrazy ujemne i jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy 2. Oblicz iloczyn a⋅d .

Informacja do zadań 11.1 i 11.2

Czas T połowicznego rozpadu węgla C 14 to czas, po którym względna zawartość tego izotopu w próbce materii organicznej zmniejsza się o połowę. Przyjmij, że czas połowicznego rozpadu węgla 14 C wynosi około T = 57 00 lat , a pozostała masa tego izotopu wyraża się wzorem

( 1 ) tT m (t) = m 0 ⋅ -- , 2

gdzie:
m 0 – masa izotopu węgla C 14 w trakcie życia organizmu
t – czas jaki upłynął od czasu śmierci organizmu.

Zadanie 11.1
(1 pkt)

Jeżeli próbka materii organicznej została odkryta 39 900 lat po śmierci tego organizmu, a masa tego izotopu w trakcie życia organizmu była równa m , to masa węgla C 14 w tej próbce jest równa około
A) 0,78 %m B) 1,56%m C) 3,13%m D) 0,39%m

Zadanie 11.2
(3 pkt)

Pewien zespół naukowców w ramach prowadzonych badań archeologicznych odkrył szczątki żywego organizmu, w których masa izotopu węgla C14 stanowi 16− 1,2 masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia tego organizmu. Oblicz, ile lat mają odkryte szczątki organiczne.

Zadanie 12
(1 pkt)

Równanie

(3 − x)(x 2 + 3) x (x+ 2)(3− x) -----------------= ----------------- (3x− 5)(3− 2x) (2x − 3)(5 − 3x)

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie B) dwa rozwiązania
C) trzy rozwiązania D) cztery rozwiązania

Zadanie 13
(1 pkt)

Wiadomo, że 3a = 2 i 3b = 5 . Zatem liczba log 2 00 3 jest równa
A) 3(a + b) B) 3a+ 2b C) 2a + 3b D) 6ab

Zadanie 14
(3 pkt)

Na boku BC trójkąta równobocznego ABC wybrano taki punkt D , że pole trójkąta ABD jest równe √ -- 6 3 i jest dwa razy większe od pola trójkąta ADC (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz długość odcinka AD .

Zadanie 15
(1 pkt)

Pięciowyrazowy ciąg ( ) 3,− 1,x ,y,− 11 2 jest arytmetyczny. Liczby x oraz y są równe
A) x = 4 oraz y = − 125 B) x = 125 oraz y = 4
C) x = − 4 oraz y = − 15- 2 D) x = − 15- 2 oraz y = 4

Zadanie 16
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dany jest okrąg k o środku S = (− 4,3) . Jednym z punktów leżących na tym okręgu jest A = (1,1) . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Punkt B = (−2 ,−2 ) należy do okręgu k .PF
Promień okręgu k jest równy 29. PF

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC oraz |AB | = 20 , |BC | = 18 . Prosta BO przecina bok AC trójkąta ABC w punkcie D (zobacz rysunek).

PIC

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Proste BD i AC są prostopadłe. PF
Stosunek pól trójkątów BCD i BAD jest równy 0,9.PF

Zadanie 18
(1 pkt)

Końcami odcinka PR są punkty P = (− 2,9) i R = (4,− 1) . Odległość punktu T = (− 1,1) od środka odcinka PR jest równa
A) √ -- 3 B) √ --- 1 7 C) √ --- 13 D) √ -- 6 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Ile rozwiązań ma równanie ||x + 3|− 4| = 5 ?
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6

Zadanie 20
(2 pkt)

Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych nigdy nie jest liczbą podzielną przez 3.

Informacja do zadań 21.1 i 21.2

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) , dana jest prosta k o równaniu y = 3x − 1 .

Zadanie 21.1
(1 pkt)

Jedną z prostych równoległych do prostej k jest prosta o równaniu
A) y = 3x + 2 B) y = − 3x + 2 C) 1 y = 3x+ 1 D) 1 y = − 3x + 1

Zadanie 21.2
(1 pkt)

Jedną z prostych prostopadłych do prostej k jest prosta o równaniu
A) y = 13x + 2 B) y = − 13x+ 2 C) y = 3x + 1 D) y = −3x + 1

Zadanie 22
(1 pkt)

Dany jest sześcian F o krawędzi długości a i objętości V oraz sześcian G o krawędzi długości 0,5a . Objętość sześcianu G jest równa
A) 0,5V B) 0,2V C) 0,12 5V D) 0,25V

Zadanie 23
(1 pkt)

Kąt α jest ostry oraz 2 2 3 tgα = 4sin α + 4 cos α . Tangens kąta α jest równy
A) 34 B) 43 C) 13 D) 3

Zadanie 24
(1 pkt)

Wysokości CE i AD trójkąta równoramiennego ABC przecinają się w punkcie F . Podstawa trójkąta ABC ma długość 13, a jego obwód jest równy 65.

PIC

Stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta ABC jest równy
A) 18 B) 14 C) 136 D) -2 13

Zadanie 25
(1 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem an = 3 − n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Ciąg (an) jest

A) rosnący,B) malejący,C) stały,

ponieważ dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1

1) an+1 − an = − 1 ,2) an+1 − an = 0 ,3) an+ 1 − an = 3 ,

Zadanie 26
(1 pkt)

Punkty A,B ,C i D leżą na okręgu o środku O . Punkt O leży na odcinku AB oraz |∡CDB | = 35∘ , |∡CBD | = 125∘ .

PIC

Miara kąta DBA oznaczonego na rysunku literą α jest równa
A) 65∘ B) 6 0∘ C) 70∘ D) 80∘

Zadanie 27
(1 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania parzystej sumy oczek jest równe
A) 1 6 B) 1 4 C) 1 3 D) 12

Zadanie 28
(1 pkt)

Środki ścian czworościanu foremnego ABCD są wierzchołkami mniejszego czworościanu foremnego KLMN .

PIC

Stosunek objętości czworościanu KLMN do objętości czworościanu ABCD jest równy
A) 8 : 27 B) 1 : 8 C) 1 : 64 D) 1 : 27

Zadanie 29
(2 pkt)

W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:
– w I donicy – 113 nasiona
– w II donicy – 141 nasion
– w III donicy – 99 nasion
– w IV donicy – 127 nasion
– w V donicy – 120 nasion.
Oblicz odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion.

Zadanie 30
(4 pkt)

Zakład ślusarski produkuje ozdobne kwietniki. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x kwietników można opisać funkcją

P (x) = 47 6x,

a koszt K (w złotych) produkcji x kwietników w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją

1 K (x) = -x2 + 366x + 1 369. 4

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 250 kwietników. Oblicz, ile tygodniowo kwietników należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Informacja do zadań 31.1 i 31.2

Firma F zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy F , którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

PIC
Zadanie 31.1
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy F jest równa 4800 zł. PF
Ponad 78% pracowników tej firmy zarabia nie więcej niż 5000 zł brutto.PF

Zadanie 31.2
(1 pkt)

Średnia miesięczna płaca brutto w firmie F jest równa
A) 4 862,5 zł B) 4 800,00 zł C) 5 360,00 zł D) 4 593,75 zł

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania