/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Lubelska próba przed maturą
z matematyki poziom podstawowy grupa I 10 marca 2020 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 2 2 x − y dla √ -- x = 2 − 2 i √ -- y = 2+ 2 jest równa
A) √ -- 4 2 B) √ -- − 4 2 C) √ -- − 8 2 D) √ -- 8 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Dana jest liczba a = 100100 . Liczba b stanowi 1% liczby a . Wówczas
A) b = 1 0096 B) b = 100 97 C) 98 b = 10 0 D) 99 b = 1 00

Zadanie 3
(1 pkt)

Jeżeli log 18 = c 2 , to liczba log2 3 jest równa
A) c+2-1 B) c−21- C) c6 D) − c6

Zadanie 4
(1 pkt)

Suma kwadratów dwóch wyrażeń (1 − x ) i (x+ 2) jest równa
A) x2 − 2x + 5 B) x2 + 2x+ 5 C) x2 − 2x + 4 D) 2x2 + 2x + 5

Zadanie 5
(1 pkt)

Dziedziną funkcji f (x) = (x−21)(3+x-) jest zbiór
A) R ∖ {2 } B) R ∖ {− 3,2} C) R ∖ {− 3} D) R ∖ {− 2}

Zadanie 6
(1 pkt)

Liczba (− 3) jest rozwiązaniem równania
A) 2 x + 9 = 0 B) x+3 -2--= 1 C) -2--= 0 x+ 3 D) x2 − 9 = 0

Zadanie 7
(1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności x−2− x < 2 3 jest przedział
A) (− ∞ ,− 4) B) (− 4,+ ∞ ) C) (− ∞ ,4) D) (4,+ ∞ )

Zadanie 8
(1 pkt)

Do wykresu funkcji f danej wzorem x f (x) = 2 − 1 nie należy punkt o współrzędnych
A) (2,− 1) B) (2,3 ) C) (1,1) D) (0,0)

Zadanie 9
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f (x) = − 2(x − 4)(2 + x) jest malejąca w przedziale
A) (− 2,4) B) (− ∞ ,1⟩ C) ⟨− 2,4⟩ D) ⟨1,+ ∞ )

Zadanie 10
(1 pkt)

Wykresem funkcji f danej wzorem 2 f(x ) = − 2(x + 2m ) − 5 jest parabola o wierzchołku w punkcie P = (4,− 5) . Wówczas
A) m = 2 B) m = − 4 C) m = − 2 D) m = 4

Zadanie 11
(1 pkt)

Setny wyraz ciągu (an) jest równy 2020. Wzór ogólny na n –ty wyraz ciągu (a ) n może mieć postać
A) an = 2n − 2020 B) n2 an = 4-− 480 C) an = n 2 − 4 80 D) an = 2n + 202 0

Zadanie 12
(1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ∈ N + spełniony jest warunek

a5 = 2(a 3 − a1) + 1.

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A)− 1 B) 1 C) 2 D) 3

Zadanie 13
(1 pkt)

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: √ -- (2,x 2,6) . Wówczas
A) x = 6 B) √ -- x = 6 C) x = 3 D) √ -- x = 3 2

Zadanie 14
(1 pkt)

Wiadomo, że 3√5- sin α = 7 i ∘ ∘ α ∈ (90 ;1 80 ) . Wynika stąd, że
A) c osα = − 449 B) cos α = − 27 C) 2 co sα = 7 D) √-- -34- cosα = − 7

Zadanie 15
(1 pkt)

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A ,B,C (zobacz rysunek).

PIC

Odcinek AC jest średnicą okręgu. Kąt AOB ma miarę 64∘ . Kąt OBC ma miarę równą
A) 42∘ B) 3 4∘ C) 32∘ D) ∘ 44

Zadanie 16
(1 pkt)

Dwusieczne kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC przecinają się w punkcie P . Przyprostokątne AB i BC mają długości równe odpowiednio 12 i 9 (zobacz rysunek).

PIC

Odległość punktu P od przeciwprostokątnej AC jest równa
A) 3 B) 2 C) 15 D) 15 2

Zadanie 17
(1 pkt)

Obwód trójkąta równobocznego jest równy 6x y , gdzie x > 0,y > 0 . Pole powierzchni tego trójkąta jest równe
A) 3xy B) 2 xy2 C) 2√- xy23- D) x√ 3 -y--

Zadanie 18
(1 pkt)

Prosta k o równaniu x − y + 12 = 0 , tworzy z osią Ox kąt o mierze równej
A) 30∘ B) 9 0∘ C) 60∘ D) 45∘

Zadanie 19
(1 pkt)

Dłuższy z boków prostokąta ABCD ma długość równą 12, a dwa sąsiednie wierzchołki mają współrzędne C = (− 5,1) , D = (3,1) . Pole powierzchni tego prostokąta jest równe
A) √ -- 20 3 B) 64 C) 80 D) 96

Zadanie 20
(1 pkt)

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość równą 16 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 ∘ . Wysokość tego graniastosłupa ma długość równą
A) 8 B) √ -- 8 2 C) 16√3- 3 D) √ -- 8 3

Zadanie 21
(1 pkt)

Wysokość ściany bocznej opuszczona na krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest 3 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej do pola powierzchni podstawy tego ostrosłupa jest równy
A) 1 3 B) √ -- 2 3 C) √ -- 6 3 D) 9

Zadanie 22
(1 pkt)

Ze zbioru cyfr {6,7,8,9} losujemy kolejno bez zwracania dwie cyfry i tworzymy liczbę dwucyfrową. Prawdopodobieństwo tego, że utworzona liczba będzie nie mniejsza niż 89 jest równe
A) -3 16 B) 4- 16 C) -3 12 D) -4 12

Zadanie 23
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,x,4,x,6 ,x,8,x,10,x jest równa 4,5. Mediana tego zestawu danych wynosi
A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5

Zadanie 24
(1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 72. Wynika stąd, że przekątna tego sześcianu ma długość równą
A) 6 B) -- 2√ 3 C) -- 3√ 3 D) 12

Zadanie 25
(1 pkt)

Aby odblokować telefon komórkowy należy użyć czterocyfrowego kodu PIN. Paweł ustalił, że jego kod PIN na parzystych miejscach będzie miał cyfrę nieparzystą, a na nieparzystych miejscach cyfrę parzystą oraz cyfry nie będą się powtarzać. Ile różnych kodów PIN może utworzyć Paweł?
A) 400 B) 300 C) 4 2 ⋅5 D) 5 2 ⋅4

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2x 2 − 7x ≥ − 5 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Uzasadnij, że jeśli a ⁄= 0 oraz b22 = 2b − a2 a , to b = a2 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Dany jest prostokąt ABCD , którego jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Na boku DC zbudowano trójkąt równoboczny CDE (zobacz rysunek). Punkt K jest takim punktem odcinka CE , że |∡BKC | = 75∘ . Udowodnij, że punkt K jest środkiem odcinka CE .

PIC

Zadanie 29
(2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?

Zadanie 30
(2 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 31
(2 pkt)

Punkty A = (− 3,− 5),B = (4,− 1),C = (− 2,3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Oblicz długość ramienia tego trójkąta.

Zadanie 32
(4 pkt)

Wierzchołki trójkąta ABC leżą na paraboli, która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Pole tego trójkąta jest równe 8, punkt C = (1,4) jest wierzchołkiem paraboli, a punkty A i B leżą na osi Ox . Wyznacz wzór funkcji f .

PIC

Zadanie 33
(4 pkt)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Zadanie 34
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punkt D jest środkiem krawędzi AB , odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania