/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 14 maja 2008 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wielomian stopnia trzeciego f , którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia warunek f(0) = 90 .

PIC

Wielomian g dany jest wzorem g(x) = x3 − 14x 2 + 63x− 90 . Wykaż, że g (x ) = −f (−x ) dla x ∈ R .

Zadanie 2
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |x − 2|+ |3x − 6| < |x | .

Zadanie 3
(5 pkt)

Liczby √ --- x1 = 5 + 2 3 i √ --- x2 = 5− 23 są rozwiązaniami równania x2 − (p2 + q2)x + (p + q) = 0 z niewiadomą x . Oblicz wartości p i q .

Zadanie 4
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 4 cos2x = 4sin x+ 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 5
(5 pkt)

Dane jest równanie |2x + 3| = p z niewiadomą x . Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru p .

Zadanie 6
(3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli ciąg (a,b,c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny to a = b = c .

Zadanie 7
(4 pkt)

Udowodnij, że każdy punkt paraboli o równaniu y = 14x2 + 1 jest równoodległy od osi Ox i od punktu F = (0,2) .

Zadanie 8
(4 pkt)

Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu (x − 1 6)2 + y 2 = 4 jest okrąg o równaniu 2 2 (x− 6) + (y− 4) = 16 , a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.

Zadanie 9
(4 pkt)

Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji √ - 2 f (x) = log-22(8x− x ) .

Zadanie 10
(4 pkt)

Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe 0,1. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.

Zadanie 11
(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H – wysokość ostrosłupa oraz α — miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ( ∘ ∘ 45 < α < 90 ).

  • Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa 3 43 ⋅-H2---- tg α−1 .
  • Oblicz miarę kąta α , dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa 2 3 9H . Wynik podaj w zaookrągleniu do całkowitej liczby stopni.
PIC

Zadanie 12
(4 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: |BC | = 9 , |CA | = 12 . Na boku AB wybrano punkt D ⁄= B tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz długość odcinka AD .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania