/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 13 maja 2009 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x) = ax + b dla x ∈ R .

  • Dla a = 20 08 i b = 20 09 zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt 2 P = (200 9,2009 ) .
  • Narysuj w układzie współrzędnych zbiór
    { } A = (x,y) : x ∈ ⟨− 1,3 ⟩ i y = − 1-x+ b i b ∈ ⟨− 2,1⟩ . 2

Zadanie 2
(4 pkt)

Przy dzieleniu wielomianu W (x ) przez dwumian (x − 1) otrzymujemy iloraz 2 Q (x) = 8x + 4x − 14 oraz resztę R (x) = − 5 . Oblicz pierwiastki wielomianu W (x) .

Zadanie 3
(4 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej f (x) = ax dla x ∈ R .

PIC

  • Oblicz a .
  • Narysuj wykres funkcji g(x) = |f (x)− 2| i podaj wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie g(x) = m ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 4
(5 pkt)

W skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k , dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości k oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

Zadanie 5
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli √ - A = 34 2+2 i √- B = 32 2+3 , to √ -- B = 9 A .

Zadanie 6
(5 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = log 2cosx(9− x 2) i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.

Zadanie 7
(6 pkt)

Ciąg (x − 3,x + 3,6x + 2 ,...) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że S19< 1 S20 4 , gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 8
(4 pkt)

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3+ 2√ 2- .

PIC

Zadanie 9
(5 pkt)

W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu 2 2 (x + 2) + (y − 3) = 4 oraz zaznacz punkt A = (0,− 1) . Prosta o równaniu x = 0 jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt A . Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt A .

Zadanie 10
(4 pkt)

W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od 9 22 .

Zadanie 11
(6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania