/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 3 marca 2012 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wyznacz w zależności od parametru m liczbę rozwiązań równania || 1 || |3x − 3| + m = 0 .

Zadanie 2
(4 pkt)

Udowodnij, że liczba 444 ...48 88...88-9 ◟ ◝◜n ◞◟ ◝n◜ ◞ jest kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie 3
(4 pkt)

Punkt H jest punktem wspólnym wysokości trójkąta ostrokątnego ABC wpisanego w okrąg o promieniu 12. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABH .

Zadanie 4
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby m ∈ R , dla których równanie x 2 + mx + (2m + 1) = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 i x 2 takie, że 3 3 x 1 + x 2 = 26 .

Zadanie 5
(4 pkt)

Oblicz sumę wszystkich liczb czterocyfrowych, które przy dzieleniu przez 23 dają resztę 7.

Zadanie 6
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 2 3 + sin xtg x = tg x+ 3sinx w przedziale ⟨0,2 π⟩ .

Zadanie 7
(4 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli liczby niezerowe a,b,c spełniają warunek 3 3 3 a + b = 2c to

1 1 2 -2--------2-+ 2---------2-= -2---------2. a + ac + c c + cb + b a + ab+ b

Zadanie 8
(4 pkt)

Trójkąt równoramienny o obwodzie 12 obraca się wokół swojej osi symetrii. Oblicz dla jakich długości boków trójkąta otrzymamy stożek, w którym różnica między polem powierzchni bocznej, a polem podstawy jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Zadanie 9
(6 pkt)

W trapezie ABCD , w którym AB ∥ CD , dane są wierzchołki A = (1,1),B = (2,4) oraz punkt przecięcia przekątnych S = (− 1,3) . Pole trapezu jest równe 36.

  • Oblicz długość podstawy CD .
  • Wyznacz współrzędne wierzchołków C i D .

Zadanie 10
(5 pkt)

Danych jest 5 pudełek ponumerowanych liczbami od 1 do 5. W każdym pudełku znajduje się 20 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 20. Z każdego pudełka wybieramy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że każda z wylosowanych liczb jest mniejsza od wszystkich liczb wylosowanych z pudełek o większych numerach. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 11
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o ramieniu długości 10 i podstawie długości 12. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość 7. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania