/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 20 kwietnia 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(3 pkt)

Funkcja f o dziedzinie (− ∞ ,− 2) ∪ (2,+ ∞ ) jest określona jako nieskończona suma

4 8 f(x) = x + 2+ --+ --2 + ... x x

Wykres funkcji y = g(x) powstaje z wykresu funkcji y = f(x) przez przesunięcie o wektor [− 2,− 2] . Rozwiąż nierówność g(x ) ≤ 7 .

Zadanie 2
(3 pkt)

W skład pociągu osobowego wchodzi lokomotywa (która znajduje się na początku składu) i n > 5 wagonów osobowych, wśród których są dokładnie trzy wagony pierwszej klasy. Liczba takich ustawień kolejności wagonów, w których trzy wagony pierwszej klasy znajdują się bezpośrednio za sobą jest 12 razy mniejsza niż liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą. Oblicz n .

Zadanie 3
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem -4x2+-3x- f(x ) = x2+2x+5 dla każdej liczby rzeczywistej x . Punkt P = (x0,4) należy do wykresu funkcji f . Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P .

Zadanie 4
(3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b prawdziwa jest nierówność

√ -- √ -- a+----b- b-+---b- a+ √a--≥ b + √a--.

Zadanie 5
(3 pkt)

Bok rombu ABCD ma długość a , a sinus jego kąta ostrego DAB jest równy √15- 4 . Na bokach BC i CD wybrano punkty K i L odpowiednio tak, że odcinki AK i AL podzieliły pole rombu ABCD na trzy równe części (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość odcinka AL .

Zadanie 6
(4 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 1. Punkty K i L są środkami odpowiednio krawędzi AD i AB , a punkt S jest środkiem odcinka KL . Punkt T jest takim punktem krawędzi CG , że |∡EST | = 90∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz odległość punktu S od środka odcinka ET .

Zadanie 7
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 cosx + 1 = 4sin2 xcos x + 2sin2 x , dla x ∈ [0,2π ] .

Zadanie 8
(4 pkt)

Trapez równoramienny ABCD nie jest równoległobokiem. Przekątna AC tego trapezu tworzy z podstawą AB kąt o mierze 60∘ . Wykaż, że trapez ABCD nie może być opisany na okręgu.

Zadanie 9
(5 pkt)

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi 27. Jeśli największą z tych liczb zwiększymy o 12, a pozostałych nie zmienimy, to uzyskamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

Zadanie 10
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ⁄= 5 , dla których równanie

m + 4 x2 + 3x− ------ = 0 m − 5

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x 2 spełniające warunek 3 3 x1 + x 2 > − 54 .

Zadanie 11
(2 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że trzy losowo wybrane wierzchołki sześcianu są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Zadanie 12
(5 pkt)

Punkty A = (20,21) i ( 40 ) B = − -3 ,− 4 są końcami przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC . Punkt S = (− 5,− 4) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz pole trójkąta ABC .

Zadanie 13
(6 pkt)

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 6.

  • Wyznacz zależność objętości V ostrosłupa od jego krawędzi podstawy a i podaj dziedzinę funkcji V (a) .

  • Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tą największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania