/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Dowodzenie nierówności

Zadanie 1

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ⁄= y prawdziwa jest nierówność

( ) 2 2 2 1-x+ 4y < x-+--4y-. 5 5 5

Zadanie 2

Wykaż, że dla dowolnej liczby m > 0 prawdziwa jest nierówność 3- 1 m + m ≥ 2 .

Zadanie 3

Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność

2 2 2 a-+--b-+-c--≥ a+ b+ c− 3. 2 2

Zadanie 4

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 2 2 8x − 4mx + 2m ≥ 12x + 6m − 18 .

Zadanie 5

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

6 6 1 + x--+-y--≥ x3 + y3 2

Zadanie 6

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

(2ac + bd )(ac+ 2bd ) ≥ 9abcd

Zadanie 7

Udowodnij, że jeżeli a,b ≥ 0 , to prawdziwa jest nierówność 3 3 2 2 a + b ≥ a b + ab .

Zadanie 8

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2 + y2 = 2 , prawdziwa jest nierówność x + y ≤ 2 .

Zadanie 9

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że 2x > y , spełniona jest nierówność

3 2 3 2 3 7x + 4x y ≥ y + 2xy − x .

Zadanie 10

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność 6 6 4 2 2 4 x + y ≥ x y + x y .

Zadanie 11

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówności: 0 < a < b < c , to

-----3---- --2--- 1 1 1 > 1 1. a + b + c a + b

Zadanie 12

Niech m ,n ∈ R + , udowodnij, że jeżeli m + n = 1 to prawdziwa jest nierówność -1 1 m + n ≥ 4 .

Zadanie 13

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x ,y prawdziwa jest nierówność

x2y2 + 2x 2 + 2y 2 − 8xy + 4 > 0.

Zadanie 14

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

2 2 2 2 (x+ y)(x − xy + y + 3) ≥ 2(x + xy + y + 1).

Zadanie 15

Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1 , to -a--< --b- 2+a3 2+b3 .

Zadanie 16

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniona jest nierówność

1x 4 + 1-x3 > 3x 2 − 1 6. 4 3

Zadanie 17

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:

4 3 2 x − x + 2x − x + 1 > 0 .

Zadanie 18

Funkcja f(x) = x3 + ax 2 + bx + c ma trzy różne miejsca zerowe: p ,q,r . Wykaż, że

f ′(p )⋅f ′(q) ⋅f′(r) < 0.

Wersja PDF
Rozwiązania