/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 7 marca 2008 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Zadanie 2
(4 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej f (x) = ax dla x ∈ R

PIC

  • Narysuj wykres funkcji g , który jest obrazem wykresu funkcji f w przesunięciu o wektor →u = [2,− 1] .
  • Wyznacz a i zapisz wzór funkcji g otrzymanej w wyniku tego przesunięcia.
  • Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których g(x) > 0 .

Zadanie 3
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania x 3 + m 3x2 − m 2x − 1 = 0 jest liczba 1.

Zadanie 4
(5 pkt)

Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu y = 2x − 3 w punkcie A = (2,1) i styczny do prostej o równaniu 1 y = 2 x+ 9 w punkcie B = (− 4,7) . Oblicz promień tego okręgu.

Zadanie 5
(3 pkt)

Narysuj wykres funkcji f (x) = |x− 1|+ 3 określonej dla x ∈ R , a następnie na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m ∈ R .

Zadanie 6
(5 pkt)

Właściciel sklepu z odzieżą kupił w hurtowni koszulki, płacąc za nie 720 zł. Gdyby każda koszulka kosztowała o 2 złote mniej, to za tę samą kwotę mógłby kupić o 5 koszulek więcej. Oblicz, ile koszulek kupił w tej hurtowni wspomniany właściciel sklepu. Podaj cenę jednej koszulki.

Zadanie 7
(4 pkt)

W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |AB | = 2 , |BC | = √ 3- , |CD | = 3 , |DA | = 4 i |∡DAB | = 6 0∘ . Oblicz pole tego czworokąta.

Zadanie 8
(5 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem α = 6 0∘ . Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się √ -- 8 3 . Zaznacz na poniższym rysunku kąt α . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

PIC

Zadanie 9
(5 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | wysokość CE jest dwa razy dłuższa od wysokości AD (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC .

PIC

Zadanie 10
(5 pkt)

Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem 1−n an = 3 dla n ≥ 1 .

  • Oblicz iloraz tego ciągu.
  • Oblicz log a1 + log a 2 + log a3 + ⋅⋅⋅+ log a100 3 3 3 3 czyli sumę logarytmów, o podstawie 3, stu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 11
(5 pkt)

Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

  • A – na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek,
  • B – suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania