/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Przykładowe zadania
z Matematyki (matura od roku 2025)
poziom rozszerzony
Informator CKE

Zadanie 1
(6 pkt)

Dany jest układ równań

{ mx + y = m 2 4x + my = 8

z niewiadomymi x i y oraz parametrem m ∈ R . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których układ jest oznaczony, a para liczb (x,y ) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek |x+ y| < 2 .

Zadanie 2
(3 pkt)

Dane są liczby ( ) a = log√ 52 ⋅log2 25 i log 6 b = log558 . Oblicz ab+ 1 .

Zadanie 3
(3 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu wielomianu W określonego wzorem

1-3 2 67- W (x) = 8x − 2x + 8 x − 3, dla każdego x ∈ R .

Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu W .

ZINFO-FIGURE

Zadanie 4
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem −3x+-41 f(x ) = x− 13 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 3 . Punktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi. Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji f .

Zadanie 5
(3 pkt)

Wielomian W jest określony wzorem W (x) = (x − 1)(x2 − mx + m − 1) dla każdego x ∈ R . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których wielomian W ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.

Zadanie 6
(4 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = px 2 + (p− 1)x + 1− 2p dla każdego x ∈ R . Wyznacz wszystkie wartości parametru p , dla których funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1.

Zadanie 7
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem -3x- f(x ) = x+1 dla każdego x ∈ (− 1,+ ∞ ) . Wykaż, że f jest funkcją rosnącą.

Zadanie 8
(2 pkt)

Oblicz granicę n√ -n----n- nl→im+ ∞ 6 + 7 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry.

ZINFO-FIGURE

W chwili t = 0 znajduje się on w punkcie O oddalonym od szczytu o 4 km, a położenie x Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością

x (t) = −t3 + 16,5t2 + 180t dla t ∈ [0,24],

gdzie x jest wyrażone w metrach, a t – w godzinach. Oś Ox jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry. Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz największą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.

Zadanie 10
(6 pkt)

Cztery miasta A ,B ,C i D znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. Jeden z węzłów ma ma być połączony z miastami A i D , a drugi węzeł z miastami B i C (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci.

Zadanie 11
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = 2xx+−32-+ 4 lo g1x 2 dla każdego x > 0 . Wykaż, że funkcja f ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do przedziału [ ] 12,4 .

Zadanie 12
(4 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = x4 + 0,5⋅ (2x+ 1)4 dla każdego x ∈ R . Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji.

Zadanie 13
(4 pkt)

W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , jest spełniony warunek

a5 + a3 29 ------- = --. a3 25

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6. Wyznacz wzór ogólny na n -ty wyraz ciągu (an) .

Zadanie 14
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = x6 − 2x4 − x3 + 1 dla każdego x ∈ R . Wykaż, że liczba 5 należy do zbioru wartości tej funkcji.

Zadanie 15
(3 pkt)

Rozwiąż równanie

x x (3 − 2 cosx)2 = 8sin2 --− 8co s2--+ 12 2 2

w zbiorze (0,π ) .

Zadanie 16
(3 pkt)

Wykaż, że równanie x 4 − 7x 3 + 9x 2 + 8x− 2 = 0 ma w przedziale (− 2,2) co najmniej dwa różne rozwiązania.

Zadanie 17
(3 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem

( p + 1 2p + 2 ) an = (n+ 5)2 ⋅ --------------- + --------------- (n + 1)(n+ 2) (n + 2)(n + 3)

dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Wyznacz wszystkie wartości parametru p , dla których granica ciągu (an) jest równa 12.

Informacja do zadań 18.1 i 18.2

Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 80, pole powierzchni całkowitej jest równe 256 i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż 4.

Zadanie 18.1
(4 pkt)

Udowodnij, że liczba c może być długością krawędzi takiego prostopadłościanu wtedy i tylko wtedy, gdy [ ] c ∈ 4, 238 .

Zadanie 18.2
(4 pkt)

Objętość V każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji

V(c) = c3 − 20c 2 + 12 8c,

gdzie [ 28] c ∈ 4,3 jest długością jednej z krawędzi bryły. Oblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest najmniejsza.

Zadanie 19
(4 pkt)

Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości A,B i C oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie 9:00 z miejscowości A do C wyruszył zastęp harcerzy Tropiciele i przemieszczał się z prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie z miejscowości B do A wyruszył zastęp harcerzy Korsarze i przemieszczał się z prędkością 2 km/h.

ZINFO-FIGURE

Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza. Przyjmij, że mierzymy odległość między zastępami do momentu, w którym zastęp Tropicieli dotrze do miejscowości C .

Zadanie 20
(4 pkt)

Firma X wytwarza pewien produkt D . Badania rynku pokazały, że związek między ilością Q produktu D , jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną P produktu jest następujący:

P(Q ) = 90 − 0,1Q , dla Q ∈ [0 ,900],

gdzie P jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a Q – ilością produktu w tys. sztuk.

Koszty K wytworzenia produktu D zależą od ilości Q wytwarzanego produktu następująco:

K(Q ) = 0,00 2Q 3 + Q 2 + 29,99 85Q + 5 0,

gdzie K jest kosztem produkcji w tys. zł. Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk.

Zadanie 21
(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDE punkt O jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy ABCD do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy 1:5. Przez przekątną AC podstawy i środek S krawędzi bocznej BE poprowadzono płaszczyznę. Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta BSO (w zaokrągleniu do ∘ 1 ).

Zadanie 22
(5 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste o równaniach 2x + y − 4m − 4 = 0 oraz x − 3y + 5m + 5 = 0 przecinają się w punkcie P o współrzędnych (xP,yP ) . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których współrzędne punktu P spełniają warunki:

2 --8--- -8- xP > 0, yP > 0, yP ≥ xP oraz 2 < − (y )2 + x . P P

Zadanie 23
(3 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) trapez ABCD jest wpisany w okrąg o środku w punkcie S = (19,− 11) i promieniu √ -- 1 7 2 . Wierzchołek A trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek AB jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna AC trapezu ABCD jest zawarta w prostej o równaniu y = x . Oblicz sinus kąta ABC .

Zadanie 24
(4 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) czworokąt ABCD jest równoległobokiem takim, że −→ BD = [− 21 ,−7 ] i − → DC = [15,8] . Oblicz pole tego równoległoboku.

Zadanie 25
(3 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości a . Punkt P jest środkiem krawędzi CG tego sześcianu.

ZINFO-FIGURE

Oblicz odległość wierzchołka C od płaszczyzny zawierającej punkty B , D oraz P .

Zadanie 26
(5 pkt)

Dany jest trapez prostokątny ABCD o kątach prostych przy wierzchołkach A i D . Ramię BC trapezu ma długość 5. W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie S i promieniu 2. Punkt P jest punktem styczności tego okręgu i dłuższej podstawy AB tego trapezu (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że trójkąty BP S i BSC są trójkątami podobnymi, oraz oblicz skalę tego podobieństwa.

Zadanie 27
(4 pkt)

Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt S pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie P położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości H 0 metrów n.p.m. Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy B znajdującej się dokładnie na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości H 1 metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości H 2 metrów n.p.m. (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą pokonać, aby dotrzeć do bazy. Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia α .

Zadanie 28
(4 pkt)

Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru M = { 1; 2; 3; ...; 3n + 1 } losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie A odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru M trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A .

Zadanie 29
(4 pkt)

Pan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył, że 40% rozegranych z synem partii wygrywa. Oblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo wygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od 0,95.

Zadanie 30
(3 pkt)

Pewna choroba dotyka 0,2% całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych objawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę), jest równe 0,99. Ponadto wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe 0,98. Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie choroby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pan X jest rzeczywiście chory. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych.

Zadanie 31
(4 pkt)

W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic, a ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W centrum miasta znajduje się park, gdzie obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście wraz z położeniem parku przedstawiono poniżej na rysunku. Tomek znajduje się w punkcie A miasta i chce dojechać samochodem najkrótszą drogą do punktu B .

ZINFO-FIGURE

Oblicz, ile jest najkrótszych dróg z A do B .

Wersja PDF
Rozwiązania