Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Egzamin Maturalny
z Matematyki
poziom rozszerzony 11 maja 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba  √ --- √ -- log 27 − log 3 3 27 jest równa
A) 4 3 B) 1 2 C) 11 12 D) 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem  3 f(x ) = xx−−82 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 2 . Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu x = 1 2 jest równa
A) 3 4 B) 9 4 C) 3 D) 548

Zadanie 3
(1 pkt)

Jeżeli  1 cos β = − 3 i β ∈ (π, 3 π) 2 , to wartość wyrażenia  ( ) sin β − 1π 3 jest równa
A)  √- √- −-2-2+--3 6 B)  √- 2-6+1- 6 C) 2√-2+√-3 6 D) 1−-2√6- 6

Zadanie 4
(1 pkt)

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe
A) -5 14 B) 9- 14 C) 5 7 D) 6 7

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorem  3 an = (7(pp−+11))nn3++5np2n+−p3 , gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość p , dla której granica ciągu (an) jest równa 4 3 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że 2x > y , spełniona jest nierówność

 3 2 3 2 3 7x + 4x y ≥ y + 2xy − x .

Zadanie 7
(3 pkt)

Rozwiąż równanie |x − 3| = 2x + 11 .

Zadanie 8
(3 pkt)

Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD . Długość podstawy CD jest o 2 mniejsza od długości podstawy AB . Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym CP D jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie AP B . Wykaż, że spełniony jest warunek  √ - |DP |2 + |CP |2 − |CD |2 = 4-32⋅|DP |⋅|CP | .

Zadanie 9
(4 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu  3 2 W (x) = 4x − 6x − (5m + 1)x− 2m przez dwumian x + 2 jest równa (− 30) . Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W (x) ≥ 0 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Ciąg (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a1 = 675 i a 22 = 5a23 + 1a21 4 5 . Ciąg (bn ) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (bn) . Ponadto a3 = b4 . Oblicz b1 .

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin x + sin2x + sin 3x = 0 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

 2 x − (m + 1)x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x2 , spełniające warunki:

x ⁄= 0, x ⁄= 0 oraz -1-+ 1--+ 2 = 1-+ -1- 1 2 x 1 x2 x21 x22

Zadanie 13
(5 pkt)

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEF GH o podstawie prostokątnej ABCD . Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze α takiej, że sin α = 12- 13 (zobacz rysunek). Pole trójkąta AF H jest równe 26,4. Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.


PIC


Zadanie 14
(6 pkt)

Punkt A = (− 3,2 ) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y = x− 1 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

  • Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem  √------ P (b) = (18−-2b)⋅218b−81- .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

ArkuszWersja PDF