/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 5 maja 2011 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k6 − 2k4 + k2 jest podzielna przez 36.

Zadanie 2
(4 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli a ⁄= b , a ⁄= c, b ⁄= c i a + b = 2c , to -a--+ -b--= 2 a−c b−c .

Zadanie 3
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

x2 − 4mx − m 3 + 6m 2 + m − 2 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 takie, że (x1 − x2)2 < 8(m + 1) .

Zadanie 4
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 sin2x − 2 sin 2x cosx = 1− cosx w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 5
(4 pkt)

O ciągu (xn) dla n ≥ 1 wiadomo, że:

  • ciąg (an ) określony wzorem xn an = 3 dla n ≥ 1 jest geometryczny o ilorazie q = 27 .
  • x1 + x2 + ⋅⋅⋅+ x10 = 145.

Oblicz x1 .

Zadanie 6
(4 pkt)

Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz ∘ |∡BAC | = 30 . Oblicz długość środkowej AD tego trójkąta.

Zadanie 7
(4 pkt)

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 poprowadzonymi przez punkt A = (2,0) .

Zadanie 8
(4 pkt)

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Zadanie 9
(4 pkt)

Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki.

Zadanie 10
(3 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że MQ ∥ PN .

Zadanie 11
(6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD . W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy |AC | : |AS | = 6 : 5 . Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 12
(3 pkt)

A ,B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω . Wykaż, że jeżeli P(A ) = 0,9 i P (B) = 0,7 , to P (A ∩ B ′) ≤ 0,3 (B ′ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B ).

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania