/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 9 maja 2012 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.

Zadanie 2
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność x 4 + x 2 ≥ 2x .

Zadanie 3
(4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + 2 = 3co sx .

Zadanie 4
(6 pkt)

Oblicz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 − (m + 2)x + m + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1,x2 takie, że x41 + x42 = 4m 3 + 6m 2 − 32m + 1 2 .

Zadanie 5
(6 pkt)

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

Zadanie 6
(6 pkt)

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: ( 1 5 ) P = 2m + 2,m , gdzie m ∈ ⟨− 1,7⟩ . Oblicz najmniejszą i największą wartość |PQ |2 , gdzie ( 55- ) Q = 2 ,0 .

Zadanie 7
(3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli a,b ≥ 0 , to prawdziwa jest nierówność a3 + b3 ≥ a2b + ab 2 .

Zadanie 8
(4 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.

Zadanie 9
(5 pkt)

Dany jest prostokąt ABCD , w którym |AB | = a,|BC | = b i a > b . Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD . Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b .

Zadanie 10
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC . Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa oraz √ ---- |AS | = 8 21 0, |BS | = 118, |CS | = 13 1 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 11
(3 pkt)

Zdarzenia losowe A ,B są zawarte w Ω oraz ′ P(A ∩ B ) = 0,7 ( ′ A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A , B′ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B ). Wykaż, że P (A ′ ∩ B) ≤ 0,3 .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania