/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony
(formuła 2015) 15 maja 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Odległość punktu A = (6,2) od prostej o równaniu 5x − 12y + 1 = 0 jest równa
A) 7 13 B) 7 12- C) 5 12 D) 12 13

Zadanie 2
(1 pkt)

Równanie |2x − 4| = 3x + 1 w zbiorze liczb rzeczywistych
A) nie ma rozwiązań.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania.
D) ma dokładnie cztery rozwiązania.

Zadanie 3
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = |− (x + 2)3 + 5| dla każdej liczby rzeczywistej x . Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A) [− 2,+ ∞ ) B) [0,+ ∞ ) C) [3,+ ∞ ) D) [5,+ ∞ )

Zadanie 4
(1 pkt)

Granica

3 lim 1+--3a+--2ax-+-ax-- x→ + ∞ 3+ 4x+ 5x2 + 5x3

jest równa 3. Wtedy
A) a = 3 B) a = 9 C) a = 15 D) a = 21

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Wielomian 3 2 W (x) = 8x + 14x + 5x + 3 jest iloczynem wielomianów P(x) = 2x+ 3 oraz 2 Q (x) = ax + bx+ c . Oblicz wartości współczynników: a,b oraz c .

Zadanie 6
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli lo g54 = a oraz lo g43 = b , to 2a+1 lo g1280 = a⋅(1+b) .

Zadanie 7
(3 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły ABCD . Przekątne AC oraz BD tego czworokąta przecinają się w punkcie S . Wykaż, że jeżeli |AS-|= |BS|- |DS | |CS| , to na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Zadanie 8
(3 pkt)

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.

Zadanie 9
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem

x3 − 3x + 2 f (x ) = ------------ x

dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) punkt P , o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f . Prosta o równaniu y = ax + b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P . Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej.

Zadanie 10
(3 pkt)

Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru {1 ,2,3,4,5,6,7,8} , losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która ma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą – w podanej kolejności – sześciowyrazowy ciąg malejący.

Zadanie 11
(4 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (x,y ,z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x,y oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (an) , określonego dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oblicz x ,y oraz z .

Zadanie 12
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin 2x + cos 2x = 1 + sin x− cosx w przedziale [0,2π ] .

Zadanie 13
(4 pkt)

Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy 17. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok AC , a długości dwóch pozostałych boków są równe |AB | = 30 oraz |BC | = 17 . Oblicz miarę kąta BAC oraz długość boku AC tego trójkąta.

Zadanie 14
(5 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) środek S okręgu o promieniu √ -- 5 leży na prostej o równaniu y = x + 1 . Przez punkt A = (1,2) , którego odległość od punktu S jest większa od √ -- 5 , poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – B i C . Pole czworokąta ABSC jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu S . Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 15
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 x − (3m + 1)⋅x + 2m + m + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek

x31 + x32 + 3 ⋅x1 ⋅ x2 ⋅(x 1 + x 2 − 3) ≤ 3m − 7.

Zadanie 16
(6 pkt)

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż √ -- 8 3 .

  • Wykaż, że pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

    2 √ -- √ -- P (a) = a--⋅--3 + 138-24--3. 2 a

  • Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania