/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 11 marca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(1 pkt)

Klient wpłacił do banku 40 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 2% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po 3 latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
A) 400 00⋅(1 ,36)3 B) 4000 0⋅(1,0 2)3 C) 40000 ⋅1,06 D) 4000 0⋅3 ⋅1,02

Zadanie 2

(1 pkt)

Wartość wyrażenia lo g34 − log3 108 jest równa
A) 2 B) − 3 C) 3 D) (− 2)

Informacja do zadań 3.1 i 3.2

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f (x) = − 3x2 + 2x − 7 .

Zadanie 3.1

(1 pkt)

Wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołek leży na prostej o równaniu
A) y = −4 0x B) y = −2 0x C) y = − 80x D) y = 20x

Zadanie 3.2

(1 pkt)

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji o dwie jednostki 2 lewo, to otrzymamy wykres funkcji
A) y = − 3x 2 + 2x− 9 B) y = − 3x 2 + 2x − 5
C) 2 y = − 3x + 14x − 23 D) 2 y = − 3x − 10x − 15

Zadanie 4

(1 pkt)

Wskaż nierówność, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

A) |x + 4| ≥ 2 B) |x − 4| ≤ 2 C) |x+ 4| ≤ 2 D) |x − 4| ≥ 2

Zadanie 5

(1 pkt)

Wyznacz największą liczbę rzeczywistą spełniającą równanie

(3x-+-7)(3x-−--2)(2x-+-1)(2x-−-3)(8x-+--3)2(9x+--1) x(x + 1,5 )(x+ 0,5)(x− 1,5) = 0.

Zadanie 6

(1 pkt)

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji y = f(x ) .

W przedziale (− 4,6) równanie f (x) = 3
A) nie ma rozwiązań.
B) ma dokładnie dwa rozwiązania.
C) ma dokładnie trzy rozwiązania.
D) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zadanie 7

(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność

2 2a(a − b) + b > 2(a − 1).

Zadanie 8

(1 pkt)

W ciągu trzech godzin dwie jednakowe maszyny produkują razem 1200 guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu dwóch godzin? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.
A) 2000 B) 900 C) 1000 D) 1500

Zadanie 9

(1 pkt)

Dana jest nierówność kwadratowa

(3x − 6)(x + k ) < 0

z niewiadomą i parametrem k ∈ R . Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (− 3,2) . Liczba jest równa
A) (− 2) B) 2 C) (− 3) D) 3

Zadanie 10

(1 pkt)

Objętość sześcianu jest równa , a objętość sześcianu jest równa . Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe

	ponieważ stosunek pól powierzchni brył podobnych jest równy
1)	sześcianowi skali podobieństwa.
2)	skali podobieństwa.
3)	kwadratowi skali podobieństwa.

Zadanie 11

(1 pkt)

Dany jest wielomian określony wzorem W (x) = x6 − 7x4 − 3x2 + 21 dla każdej liczby rzeczywistej . Wielomian przy rozkładzie na czynniki ma postać
A) W (x) = (x2 − 3)(x4 + 7) B) W (x) = (x4 + 3)(x2 − 7)
C) 4 2 W (x ) = (x − 3)(x − 7) D) 2 4 W (x) = (x − 3)(x − 7)

Zadanie 12

(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dana jest prosta o równaniu y = − 3x+ b , przechodząca przez punkt A = (− 1 ,− 3 ) . Współczynnik w równaniu tej prostej jest równy
A) 0 B) (− 3) C) (− 6) D) (− 1)

Zadanie 13

(1 pkt)

Liczba -6−3⋅3−2⋅20- 6−2⋅3−3⋅2−2 jest równa
A) 6 B) 3 C) 24 D) 2

Zadanie 14

(2 pkt)

Na wykresie funkcji f (x) = − 4x2 + 27x − 2 5 wyznacz taki punkt , którego druga współrzędna jest 7 razy większa od pierwszej współrzędnej.

Zadanie 15

(1 pkt)

Kąt jest rozwarty oraz si1n2α + co1s2α-= 245 . Wartość wyrażenia sinα ⋅co sα jest równa
A) − 2 5 B) 2 5 C) -4 25 D) -4 − 25

Zadanie 16

(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem 2−n- an = 3n2 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Piąty wyraz tego ciągu jest równy
A) ( ) − 1 5 B) 7- 75 C) ( 1-) − 25 D) ( 1-) − 15

Informacja do zadań 17.1 i 17.2

Na boku prostokąta ABCD wybrano punkt taki, że |DE | = 8 . Przekątna i odcinek przecinają się w punkcie oraz |DS | = 6 . Bok prostokąta ABCD ma długość 12 (zobacz rysunek).

Zadanie 17.1

(1 pkt)

Oblicz długość odcinka .

Zadanie 17.2

(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta jest 5 razy mniejsze od pola prostokąta .	P	F
Obwód trójkąta stanowi obwodu trójkąta .	P	F

Zadanie 18

(2 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie

(− 2)2 + (2xy − x2 − y2)

jest równe
A) [2− (x− y)]2 B) − [(x − y) − 2]⋅ [(x − y )+ 2]
C) [2− (x− y)]⋅[2 + (x − y)] D) [2 − (x + y)]2

E) [2− (x+ y)]⋅[2+ (x+ y)] F) [2 + (x − y)]2

Zadanie 19

(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dane są:
– prosta o równaniu y = 1x+ 5 2
– prosta o równaniu y− 1 = 0,5x .
Proste i
A) pokrywają się. B) nie mają punktów wspólnych.
C) są prostopadłe. D) przecinają się pod kątem ∘ 30 .

Zadanie 20

(1 pkt)

Punkty K = (− 7 ,6 ) i L = (b,− 9) są końcami odcinka . Pierwsza współrzędna środka odcinka jest o 3 większa od jego drugiej współrzędnej. Wynika stąd, że
A) b = −4 B) b = 10 C) b = 3 D) b = − 32

Zadanie 21

(1 pkt)

Dany jest rosnący ciąg (an) określony dla n ≥ 1 , którego wyrazami są wszystkie liczby trzycyfrowe podzielne przez 17. Dziewiętnasty wyraz tego ciągu jest równy
A) 425 B) 323 C) 408 D) 493

Zadanie 22

(4 pkt)

Trawnik ma kształt trójkąta równoramiennego o podstawie 80 m i ramionach długości 50 m. Z powierzchni trawnika postanowiono wydzielić prostokątny plac zabaw w ten sposób, że dwa z wierzchołków tego prostokąta leżą na podstawie, a pozostałe dwa na ramionach trójkąta ograniczającego trawnik (zobacz rysunek).

Oblicz wymiary i placu zabaw, tak, aby jego pole było największe możliwe.

Zadanie 23

(1 pkt)

Punkty A ,B oraz leżą na okręgu o środku w punkcie . Kąt ABO ma miarę 35∘ , a kąt OBC ma miarę 1 5∘ (zobacz rysunek).

Miara kąta ACO jest równa
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 50∘ D) 60∘

Zadanie 24

(3 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5} losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem tworząc liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia – otrzymana liczba jest cztery razy większa od kwadratu liczby naturalnej.

Informacja do zadań 25.1 i 25.2

W okręgu o promieniu 6 poprowadzono cięciwę równoległą do średnicy tego okręgu i taką, że |CD | = 6 (zobacz rysunek).

Zadanie 25.1

(1 pkt)

Odległość cięciwy od średnicy jest równa
A) √ -- 4 3 B) √ -- 3 3 C) √ -- 2 3 D) 4

Zadanie 25.2

(1 pkt)

Obwód trapezu ABCD jest równy
A) 30 B) √ -- 18 + 4 3 C) √ -- 24 + 3 3 D) 32

Zadanie 26

(1 pkt)

Liczba 7 ⋅11⋅ 13 ma
A) tylko pięć dzielników naturalnych B) tylko sześć dzielników naturalnych
C) tylko siedem dzielników naturalnych D) tylko osiem dzielników naturalnych

Zadanie 27

(1 pkt)

W układzie współrzędnych dany jest okrąg o równaniu

2 2 (x + 2) + (y − 2) = 8.

Okrąg przecina prostą y = x + 4 w punktach o współrzędnych
A) (4,0) i (0,− 4) B) (−4 ,0) i (0,4)
C) (2,− 2) i (− 2,2) D) (−5 ,−1 ) i (1 ,5)

Zadanie 28

(1 pkt)

Wszystkie liczby trzycyfrowe uporządkowano malejąco. Mediana otrzymanego w ten sposób zestawu danych jest równa
A) 549,5 B) 550 C) 501 D) 599,5

Zadanie 29

(1 pkt)

Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy 2 : 7. Zakupiono jeden los z tej loterii. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest przegrywający, jest równe
A) 8 9 B) 7 9 C) 1 2 D) 5 7

Zadanie 30

(1 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEF GHIJKL wierzchołki A ,C i połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wszystkie krawędzie graniastosłupa mają tą samą długość.

Cosinus największego kąta trójkąta ACL jest równy
A) B) C) 0 D) − 1 5

Zadanie 31

(2 pkt)

Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie , jego podstawy mają długości |AB | = 12 i |CD | = 9 , a wysokość trapezu ma długość 8. Punkt jest środkiem odcinka (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta CDK .

Informacja do zadań 32.1 i 32.2

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEF GH o krawędzi podstawy równej 9 i wysokości równej 12. Wierzchołki podstawy ABCD graniastosłupa połączono odcinkami z punktem , który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EF GH . Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW .