/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CEN Bydgoszcz)
poziom rozszerzony 2 marca 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu 2 4 3 2 W (x) = (2m − 4) x + 4x − x + 6x+ 2 przez dwumian (x − 1) jest równa 11 dla
A) m = − 4 B) m = −2 C) m = 2 D) m = 4

Zadanie 2

(1 pkt)

Dana jest funkcja f (x) = |log (x + 1) − 2| 2 . Wykres tej funkcji jest przedstawiony na rysunku

Zadanie 3

(1 pkt)

Wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji f(x) = 2x2 + 8x + 5 przesunięto o wektor −→ − 3v , gdzie → v = [− 4;5] , otrzymując punkt ′ W . Współrzędne punktu ′ W są równe
A) W ′ = (− 14,12 ) B) W ′ = (10,− 18) C) W ′ = (− 6,2) D) W ′ = (2,− 8)

Zadanie 4

(1 pkt)

Szereg geometryczny:

1+ (x3 + 2x2 − x − 1) + (x3 + 2x2 − x − 1)2 + (x3 + 2x2 − x − 1)3 + ⋅⋅⋅

jest zbieżny dla
A) √ -- √ -- x ∈ (− 1 − 2,− 2) ∪ (− 1+ 2,1)
B) √ -- √ -- x ∈ (− 1− 2,− 2)∪ (− 1,0 )∪ (− 1 + 2,1)
C) √ -- √ -- x ∈ (− 1 − 2,0) ∪ (− 1+ 2,+ ∞ )
D) x ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ (− 1,1)

Zadanie 5

(1 pkt)

Styczna do wykresu funkcji 2−x-- f(x) = 3x−2 w punkcie o współrzędnych ( 5) x 0,− 3 ma równanie
A) y = − 49x − 4297 B) y = − 49x − 4217 C) y = − 4x − 1 3 D) y = − 4x − 3

Zadania otwarte

Zadanie 6

(2 pkt)

Oblicz odległość środka okręgu 2 2 x + y − 4x + 2y = 0 od prostej y = 2x + 3 .

Zadanie 7

(3 pkt)

Na okręgu o promieniu opisano trapez równoramienny, którego kąt ostry ma miarę . Wykaż, że promień okręgu opisanego na tym czworokącie jest równy √ ------- R = r--sin2α+1- sin2α .

Zadanie 8

(2 pkt)

Widząc, że lo g 5 = a 3 i lo g54 = b oblicz log81 1,6 .

Zadanie 9

(4 pkt)

W klasie IIIA jest 12 dziewcząt i 14 chłopców, natomiast w klasie IIIB jest 10 dziewcząt i 16 chłopców. Rzucamy cztery razy sześcienną kostką do gry. Jeśli suma wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą i co najmniej na jednej kostce wypadła parzysta liczba oczek, to wybieramy trzyosobową delegację z klasy IIIA, w przeciwnym wypadku z klasy IIIB. Oblicz prawdopodobieństwo, że w skład delegacji wejdzie co najmniej jeden chłopiec.

Zadanie 10

(3 pkt)

Dla jakich wartości parametru granica funkcji (m-3+-9m2+9m+-11)x2−x+-2 xl→im+∞ (m2+1)x2+3 jest równa czwartemu wyrazowi ciągu określonego wzorem rekurencyjnym { a1 = − 2 an+1 = 2an + 3 dla ≥ 1

Zadanie 11

(4 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb dziewięciocyfrowych, w zapisie których dokładnie trzy razy występuje siódemka, dokładnie dwa razy czwórka, a pozostałe cyfry nie mogą się powtarzać i żadna cyfra nie jest zerem.

Zadanie 12

(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych , spełniona jest nierówność: 4x 3 + y 3 ≥ 3xy2 .

Zadanie 13

(3 pkt)

Rozwiąż równanie sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sin x cos2x dla x ∈ ⟨0 ,4π⟩ .

Zadanie 14

(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym cosinus kąta między krawędziami bocznymi, które nie są sąsiednie jest równy , a pole koła opisanego na podstawie ostrosłupa jest równe . Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.

Zadanie 15

(5 pkt)

Środki okręgów i znajdują się po różnych stronach prostej y = − 3x+ 2 , która zawiera punkty wspólne tych okręgów. Wiedząc, że promień okręgu jest równy √ -- 7 2 oraz, że okrąg o 1 ma równanie 2 2 (x + 1) + (y − 3) = 20 , wyznacz równanie okręgu .