/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony Grudzień 2013 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dane są dwie urny z kulami, w każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała i 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, natomiast jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A) -1 15 B) 2 5 C) -7 15 D) 3 5

Zadanie 2
(1 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony wzorem an = (√32)n dla n = 1,2,3,... . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) √-12−1 B) √- √22−1- C) √-2-- 2−1 D) √-3-- 2−1

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba 665 3√-−92 27--⋅1352-- (13) 3 jest równa
A) 3725 B) 31995 C) 32015 D) 32045

Zadanie 4
(1 pkt)

Okrąg o1 ma równanie x 2 + (y − 1)2 = 2 5 , a okrąg o2 ma równanie (x − 1)2 + y2 = 9 . Określ wzajemne położenie tych okręgów.
A) Te okręgi przecinają się w dwóch punktach.
B) Te okręgi są styczne.
C) Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o1 leży w całości wewnątrz okręgu o2 .
D) Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o 2 leży w całości wewnątrz okręgu o1 .

Zadanie 5
(1 pkt)

Dla każdego α suma sin α + sin3 α jest równa
A) sin 4α B) 2sin 4α C) 2 sin 2α cosα D) 2 sin α cos2 α

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą n spełniającą równanie

2 ⋅|x + 5 7| = |x − 3 9|.

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę ciągu lim -3n2−5n+2-- n→+ ∞ (8n+7)(n+ 4) .

Zadanie 8
(2 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem x−8- f(x) = x2+ 6 , dla każdej liczby rzeczywistej x . Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 12 .

Zadanie 9
(2 pkt)

Oblicz √ --- ( ∘ √--) lo g3 427 − log3 log3 3 33 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Punkty P1,P2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P P 11 22 i P P 1 16 .

PIC

Udowodnij, że |∡P 16AP 11| = 60∘ .

Zadanie 11
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 20x 2 − 2 4mx + 18m 2 ≥ 4x + 12m − 5 .

Zadanie 12
(3 pkt)

Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo pk otrzymania liczby k jest dane wzorem: 1- 6 pk = 64 ⋅(k) . Rozważamy dwa zdarzenia:
– zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {1 ,3,5} ,
– zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {2,3,4,5 ,6 } .
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P(A |B)

Zadanie 13
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których prosta o równaniu y = mx + (2m + 3) ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0,0) i promieniu r = 3 .

Zadanie 14
(3 pkt)

Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A .

Zadanie 15
(3 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a . Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę ∘ α > 45 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Zadanie 16
(6 pkt)

Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC , przy czym zachodzą równości |MB | = 2|AM | oraz |LC | = 3|AL | . Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL i CM . Punkt K jest punktem przecięcia półprostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: AMS ,ALS ,BMS i CLS .

Zadanie 17
(6 pkt)

Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.

Zadanie 18
(7 pkt)

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).

PIC

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania