/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 12 marca 2011 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Wykres funkcji homograficznej -ax+3- f (x) = x+b +1 można otrzymać przesuwając wykres funkcji g (x ) = 7x , a dziedzina funkcji f (x) jest tym samym zbiorem co jej zbiór wartości. Wyznacz współczynniki a i b .

Zadanie 2
(4 pkt)

Długości boków prostokąta ABCD spełniają warunki: 2|AD | ≤ |CD | i |CD | = 3 . Na boku CD wybrano punkty E i F w ten sposób, że |DE | = |F C| = |AD | . Punkt G jest takim punktem odcinka AE , że |AG | : |GE | = 2 : 1 . Oblicz długość boku AD prostokąta, dla której pole trójkąta FGB jest największe.

Zadanie 3
(5 pkt)

Rozwiąż równanie 2 √ -- 2 3 sin x = 2 3sin xco sx + 3 cos x w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 4
(5 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC , gdzie |AB | = |BC | , podstawa ma długość 6. Punkt P jest punktem przecięcia wysokości wychodzących z wierzchołków A i B . Oblicz pole tego trójkąta, jeśli |CP | = 4 .

Zadanie 5
(6 pkt)

Ciągi (a,b,c) i (a − 2,b − 2,c − 1) są ciągami geometrycznymi o wyrazach dodatnich, a ciąg (3a + 2,3b,c + 13) jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz a ,b,c .

Zadanie 6
(4 pkt)

Udowodnij, że suma długości wysokości ścian bocznych ostrosłupa pięciokątnego jest nie większa niż suma długości jego krawędzi bocznych.

Zadanie 7
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie 4x 4 + 4mx 2 + 4m + 5 = 0 ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek

4 4 4 4 31 x1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ −-m . 18

Zadanie 8
(5 pkt)

O zdarzeniach losowych A i B wiadomo, że P(A ∪ B) = 0,9 , P (A ∩ B) = 0,3 i P(A ∪ B′) = 0,5 . Oblicz P (A ′ ∪ B) .

Zadanie 9
(5 pkt)

Punkt √ -- A = (1 ,2 3) jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC . Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu √ -- √ -- 3y = 3x − 3 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C trójkąta.

Zadanie 10
(5 pkt)

Trzy wychodzące z jednego wierzchołka krawędzie równoległościanu są równe a,b i c . Krawędzie a i b są prostopadłe, a krawędź c tworzy z każdą z nich kąt ostry α . Oblicz objętość równoległościanu.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania