/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (OKE Poznań)
poziom rozszerzony 11 stycznia 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

Zadanie 2
(4 pkt)

Dla każdego n ∈ N + wyrazy ciągu (a ) n spełniają dwa warunki a + a = −n-2+-8n+40 n n+ 1 17 i n− 4 an − an+1 = -17- . Oblicz, które wyrazy tego ciągu są dodatnie.

Zadanie 3
(6 pkt)

Liczbę 255 przedstaw jako sumę czterech całkowitych składników będących kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego tak, aby trzeci wyraz był o 45 większy od wyrazu pierwszego.

Zadanie 4
(4 pkt)

Różnymi pierwiastkami równania kwadratowego (m − 2)x 2 − 2x + 1 = 0 są liczby x1 oraz x2 . Narysuj wykres funkcji f(m ) = |x1 + x2 + x1 ⋅x 2| .

Zadanie 5
(4 pkt)

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 6
(4 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego krótsza przekątna ma długość c , a kąt ostry miarę 2α . Pole przekroju wyznaczonego przez krawędź boczną graniastosłupa i dłuższą przekątną podstawy wynosi P . Oblicz długość dłuższej przekątnej graniastosłupa, wykonaj rysunek bryły i zaznacz w nim właściwy przekrój.

Zadanie 7
(5 pkt)

W czworokącie ABCD przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych P = (− 3,7) w taki sposób, że |PC | : |AP | = |P D | : |BP | = 1 : 3 . Wiedząc, że −→ AC = [4 ,6] i − → BD = [−1 0,− 2] , oblicz współrzędne wierzchołków tego czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest trapezem.

Zadanie 8
(5 pkt)

Wykaż, że cosinus kąta przecięcia się wykresów funkcji f(x) = 43x+ 1 i √ -- g(x) = −x 2+ 9 jest równy √ - √ - 4--6−3--3 15 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Oblicz wartość funkcji f (x) = |1− 2x−3| dla argumentu

( ) 2 2 lo1g7 x = log 13 log 128+ lo g1264 ⋅log121 8+ log 1218 + 49 3 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Posługując się wykresem funkcji f(x) = co s2x dla ( 3π⟩ x ∈ − π ,-2- , rozwiąż nierówność co s2x < sin α wiedząc, że miara kąta α jest równa mierze łukowej kąta środkowego okręgu opartego na -5 12 okręgu.

Zadanie 11
(5 pkt)

Liczba uczniów w klasie jest 812 razy mniejsza od liczby utworzonych z nich uporządkowanych trójek. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania trzech osób, które (w kolejności losowania) są zapisane w dzienniku pod numerami pierwszym, drugim, i trzecim.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania