/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 13 stycznia 2009 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(3 pkt)

Na rysunku narysowano fragment wykresu funkcji f(x ) = 2x−3 − b , określonej dla x ∈ R .

  • Podaj wartość b .
  • Naszkicuj wykres funkcji g(x) = |f (x)| .
  • Podaj wszystkie wartości parametru p , dla których równanie g(x) = p ma dokładnie jedno rozwiązanie.
PIC

Zadanie 2
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |x + 3|+ |3x + 9| < |x + 5 | .

Zadanie 3
(5 pkt)

Jeden z końców odcinka leży na paraboli y = x 2 , a drugi na prostej o równaniu y = 2x − 6 . Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od √ -- 5 . Sporządź odpowiedni rysunek.

Zadanie 4
(4 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo P (A′ ∩ B′) , jeśli P(A ′) = 1, P(B ′) = 1 3 4 i P(A ∩ B ) = 1 2 .

Zadanie 5
(3 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji h(x) otrzymanego przez przesunięcie o wektor [2,1] wykresu funkcji f określonej wzorem a f(x ) = x , dla x ∈ R i x ⁄= 0 .

PIC

Wyznacz wzór funkcji h , a następnie sprawdź, czy punkt √ -- √ -- M = ( 3,− 2 3 − 3) należy do jej wykresu.

Zadanie 6
(4 pkt)

Porównaj liczby b a i a b , gdzie [ √ --1 √ --1] 2 a = (2 − 3)2 + (2 + 3)2 , 81−1⋅√3 b = 27−2⋅4√9 .

Zadanie 7
(6 pkt)

Dane jest równanie (x + 3)[x2 + (p + 4)x + (p + 1)2] = 0 z niewiadomą x .

  • Rozwiąż to równanie dla p = 1 .
  • Wyznacz wszystkie wartości parametru p , dla których równanie to ma tylko jedno rozwiązanie.

Zadanie 8
(6 pkt)

Trapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa 30. Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia. Wyznacz dziedzinę tej funkcji.

Zadanie 9
(7 pkt)

Środek okręgu przechodzącego przez punkty A = (1 ,4) i B = (− 6,3) leży na osi 0x .

  • Wyznacz równanie tego okręgu.
  • Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej AB i oddalonej od początku układu współrzędnych o √ -- 2 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba 1 tworzą ze sobą ciąg geometryczny. Oblicz sinus najmniejszego kąta tego trójkąta.

Zadanie 11
(4 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą długość. Zaznacz na rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz cosinus tego kąta.

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania