/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 15 maja 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

W chwili początkowej (t = 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80∘C . Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa ∘ 20 C . Temperatura T tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

T (t) = (Tp − Tz) ⋅k−t + Tz dla t ≥ 0,

gdzie:

  • T – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

  • t – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,

  • Tp – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

  • Tz – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,

  • k – stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65∘C . Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności.

Zadanie 2
(2 pkt)

Oblicz granicę -x3−8- lxi→m2− (x−2)2 .

Zadanie 3
(3 pkt)

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200–gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe 0,01. Kontroli poddajemy 10 losowo wybranych opakowań ze śmietaną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych.

Zadanie 4
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem

x3-−-3x-+-2- f (x ) = x

dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) punkt P , o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f . Prosta o równaniu y = ax + b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P . Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej.

Zadanie 5
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli lo g54 = a oraz lo g43 = b , to -2a+1- lo g1280 = a⋅(1+b) .

Zadanie 6
(3 pkt)

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.

Zadanie 7
(4 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (x,y ,z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x,y oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (a ) n , określonego dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oblicz x ,y oraz z .

Zadanie 8
(4 pkt)

Dany jest trójkąt ABC , który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC . Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

|AC |2 = |BC |2 + |AB |⋅|BC |.

Zadanie 9
(4 pkt)

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości a . Punkt E jest środkiem boku CD . Przekątna BD dzieli trójkąt ACE na dwie figury: AGF oraz CEF G (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz pola figur AGF oraz CEF G .

Zadanie 10
(5 pkt)

Rozwiąż równanie

2 sin 4x − sin2x = 4 cos x − 3

w zbiorze [0,2π ] .

Zadanie 11
(5 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) środek S okręgu o promieniu √ -- 5 leży na prostej o równaniu y = x + 1 . Przez punkt A = (1,2) , którego odległość od punktu S jest większa od √ -- 5 , poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – B i C . Pole czworokąta ABSC jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu S . Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 12
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

x2 − (3m + 1)⋅x + 2m 2 + m + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek

x3 + x3 + 3 ⋅x ⋅ x ⋅(x + x − 3) ≤ 3m − 7. 1 2 1 2 1 2

Zadanie 13
(6 pkt)

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż √ -- 8 3 .

  • Wykaż, że pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

    2 √ -- √ -- P (a) = a--⋅--3 + 138-24--3. 2 a

  • Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania