/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki (stara formuła)
poziom rozszerzony 15 czerwca 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność (1 ) −1 x − 1 ≤ 1 .

Zadanie 2
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których równanie 2 |x − 5| = (a − 1) − 4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Zadanie 3
(3 pkt)

Liczby dodatnie a i b spełniają równość 2 2 a + 2a = 4b + 4b . Wykaż, że a = 2b .

Zadanie 4
(3 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | = 6 , a punkt D jest środkiem podstawy AB . Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M . Punkt K leży na boku AC , punkt L leży na boku BC , odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC | = |LC | = 2 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że |AM | |MC-|-= 45 .

Zadanie 5
(5 pkt)

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a1,a2,a3) spełniona jest równość a1 + a2 + a 3 = 241 . Wyrazy a1, a2, a 3 są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a 1 .

Zadanie 6
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 3 cos2x + 10co s2 x = 24 sinx − 3 dla x ∈ ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 7
(4 pkt)

Dane jest równanie kwadratowe x2 − (3m + 2)x + 2m2 + 7m − 15 = 0 z niewiadomą x . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których różne rozwiązania x 1 i x 2 tego równania istnieją i spełniają warunek

2 2 2x1 + 5x1x2 + 2x2 = 2.

Zadanie 8
(4 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC : |AC | = |BC | = 10 , a miara kąta ABC jest równa 30 ∘ . Na boku BC wybrano punkt P , taki, że |BP|= 2 |PC| 3 . Oblicz sinus kąta α (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Zadanie 9
(5 pkt)

Prosta o równaniu x + y − 10 = 0 przecina okrąg o równaniu 2 2 x + y − 8x− 6y + 8 = 0 w punktach K i L . Punkt S jest środkiem cięciwy KL . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = − 3 .

Zadanie 10
(5 pkt)

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 2. Na bokach BC i CD tego kwadratu wybrano – odpowiednio – punkty P i Q , takie, że długość odcinka |PC | = |QD | = x (zobacz rysunek). Wyznacz tę wartość x , dla której pole trójkąta AP Q osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to najmniejsze pole.

ZINFO-FIGURE

Zadanie 11
(4 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Zadanie 12
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB ∥ CD ). Ramiona tego trapezu mają długości |AD | = 10 i |BC | = 16 , a miara kąta ABC jest równa 30 ∘ . Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że 9 tg α = 2 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania