/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 8 maja 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Dana jest nierówność

|x − 1| ≥ 3.

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?

ZINFO-FIGURE

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ( )8 116 ⋅816 jest równa
A) 224 B) 216 C) 2 12 D) 8 2

Zadanie 3
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 2 2 2 n + (n + 1) + (n + 2) przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba log √-9 3 jest równa
A) 2 B) 3 C) 4 D) 9

Zadanie 5
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia

(2a + b)2 − (2a − b )2

jest równa wartości wyrażenia
A) 8a2 B) 8ab C) − 8ab D) 2 2b

Zadanie 6
(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

3 2 1 − --x < --− x 2 3

jest przedział
A) ( 2) − ∞ ,− 3 B) ( 2) − ∞ , 3 C) ( ) − 23,+ ∞ D) ( ) 23,+ ∞

Zadanie 7
(1 pkt)

Równanie ---x+1---- (x+ 2)(x− 3) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych
A) nie ma rozwiązania.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie: (− 1) .
C) ma dokładnie dwa rozwiązania: (− 2) oraz 3.
D) ma dokładnie trzy rozwiązania: (− 1) , (− 2) oraz 3.

Zadanie 8
(1 pkt)

Dany jest wielomian W (x) = 3x3 + 6x2 + 9x . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Wielomian W jest iloczynem wielomianów F (x) = 3x i G (x) = x 2 + 2x+ 3 . PF
Liczba (− 1) jest rozwiązaniem równania W (x) = 0 . PF

Zadanie 9
(3 pkt)

Rozwiąż równanie x 3 − 2x 2 − 3x + 6 = 0 .

Zadanie 10
(1 pkt)

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
A) { x+ y = 1960 0,6⋅0 ,95x = 0,9y B) { x+ y = 1960 0,95x = 0,6 ⋅0,9y
C) { x + y = 1960 0 ,05x = 0,6 ⋅0,1y D) { x+ y = 1960 0,4⋅0 ,9 5x = 0,9y

Zadanie 11
(1 pkt)

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań.

ZINFO-FIGURE

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A) { 3 y = − 2x + 3 y = − 32x − 1 B) { 3 y = 2x+ 3 y = − 23x− 1
C) { y = 3x + 3 2 y = 32x − 1 D) { y = − 3x − 3 2 y = 32x + 1

Zadanie 12
(1 pkt)

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (− 2k + 3 )x+ k− 1 , gdzie k ∈ R . Funkcja f jest malejąca dla każdej liczby k należącej do przedziału
A) (− ∞ ,1) B) ( 3) − ∞ ,− 2 C) (1,+ ∞ ) D) ( ) 32,+ ∞

Zadanie 13
(1 pkt)

Funkcje liniowe f oraz g , określone wzorami f(x ) = 3x + 6 oraz g(x) = ax+ 7 , mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik a we wzorze funkcji g jest równy
A) ( 7) − 2 B) ( 2) − 7 C) 27 D) 72

Informacja do zadań 14.1 – 14.5

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y ) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 14.1
(1 pkt)

Rozwiąż nierówność f (x) ≥ 0 .

Zadanie 14.2
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
A) y = − (x + 1 )2 − 9 B) y = − (x− 1)2 + 9
C) 2 y = − (x − 1) − 9 D) 2 y = − (x + 1) + 9

Zadanie 14.3
(1 pkt)

Dla funkcji f prawdziwa jest równość
A) f(− 4) = f(6) B) f(− 4) = f (5) C) f(− 4) = f(4) D) f(− 4) = f(7)

Zadanie 14.4
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x) = f (x+ 3) . Fragment wykresu funkcji y = g (x) przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 14.5
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa h jest określona za pomocą funkcji f następująco: h(x) = f (−x ) . Fragment wykresu funkcji y = h (x) przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 15
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem n an = (− 1) ⋅(n − 5) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu (an ) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. PF
Wszystkie wyrazy ciągu (an) są dodatnie. PF

Zadanie 16
(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (12 ,6 ,2m − 1) jest geometryczny. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe.
Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1, 2 albo 3.
Ciąg (an) jest

A) rosnący,B) malejący

oraz

1) m = 1 2 ,2) m = 2 ,3) m = 3 ,

Zadanie 17
(2 pkt)

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (− 1) , a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (− 1 65) . Oblicz różnicę tego ciągu.

Zadanie 18
(2 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt o mierze α taki, że tg α = − 3 oraz 90 ∘ < α < 180 ∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Prawdziwa jest zależność
A) sin α < 0 B) sinα ⋅cos α < 0 C) sin α⋅ cosα > 0

D) co sα > 0 E) sinα = − 13 c osα F) sinα = − 3cos α

Zadanie 19
(1 pkt)

Liczba sin 320 + cos2 20⋅sin 20 jest równa
A) cos20 ∘ B) sin 20∘ C) tg 20∘ D) sin20 ∘ ⋅cos 20∘

Zadanie 20
(1 pkt)

Dany jest trójkąt KLM , w którym |KM | = a , |LM | = b oraz a ⁄= b . Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że |KN | = c , |NL | = d oraz |MN | = e (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

W trójkącie KLM prawdziwa jest równość
A) a ⋅b = c ⋅d B) a ⋅d = b ⋅c C) a ⋅c = b⋅ d D) a ⋅b = e ⋅e

Zadanie 21
(1 pkt)

Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 12 0∘ . Pole tego równoległoboku jest równe
A) 12 B) √ -- 1 2 3 C) 6 D) √ -- 6 3

Zadanie 22
(1 pkt)

W trójkącie ABC , wpisanym w okrąg o środku w punkcie S , kąt ACB ma miarę 42 ∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta ostrego BAS jest równa
A) 42∘ B) 4 5∘ C) 48∘ D) 69∘

Zadanie 23
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami

k : y = (m + 1)x+ 7 l : y = − 2x + 7

Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa
A) − 1 2 B) 1 2 C) (− 3) D) 1

Zadanie 24
(2 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD , w którym A = (− 2,6) oraz B = (10,2) . Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P = (6,7) . Oblicz długość boku BC tego równoległoboku.

Zadanie 25
(1 pkt)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe √ -- 15 3 . Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
A) 36√ 1-0 B) 60 C) √ --- 6 1 0 D) 360

Zadanie 26
(1 pkt)

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 27
(1 pkt)

Ostrosłup F 1 jest podobny do ostrosłupa F 2 . Objętość ostrosłupa F1 jest równa 64, a objętość ostrosłupa F 2 jest równa 512. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F2 do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F1 .

Zadanie 28
(1 pkt)

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich takich kodów jest równa
A) 4 B) 10 C) 24 D) 16

Zadanie 29
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c , jest równa 9. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a, a, b, b, c, c , jest równa
A) 9 B) 6 C) 4,5 D) 18

Zadanie 30
(1 pkt)

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

ZINFO-FIGURE

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
A) 4,5 B) 4 C) 3,5 D) 3

Zadanie 31
(2 pkt)

Dany jest pięcioelementowy zbiór K = {5,6,7,8,9 } . Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Zadanie 32
(4 pkt)

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.

ZINFO-FIGURE

Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania