/Szkoła średnia/Zadania maturalne
Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 2 czerwca 2023 Czas pracy: 180 minut
Dane są liczby
![log245 log-32023- a = 4 oraz b = log 2023 9](https://img.zadania.info/zes/0081303/HzesT0x.png)
Oblicz .
Wśród osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te
osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych
osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności). Oblicz
.
Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0,1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych.
Funkcja jest określona wzorem
dla każdego
. Punkt
należy do wykresu funkcji
. Oblicz
oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej prawdziwa jest nierówność
![2 16 a + ---≥ 12. a](https://img.zadania.info/zes/0081303/HzesT16x.png)
Dany jest okrąg . Przez punkt
poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –
oraz
. Przez punkt
leżący na odcinku
poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie
, która przecięła odcinek
w punkcie
(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli oraz
, to trójkąt
jest równoramienny.
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
![2x − -6x---+ ---18x---− --54x---+ ... x − 1 (x − 1 )2 (x− 1)3](https://img.zadania.info/zes/0081303/HzesT30x.png)
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa
.
Rozwiąż równanie w zbiorze
.
W okrąg o równaniu wpisano trójkąt
. Bok
tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu
. Wysokość
tego trójkąta dzieli bok
tak, że
. Oblicz pole trójkąta
.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![mx 2 − (m + 1 )x− 2m + 3 = 0](https://img.zadania.info/zes/0081303/HzesT44x.png)
ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz
, spełniające warunki:
![1 1 x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz -2+ -2-< 1. x1 x2](https://img.zadania.info/zes/0081303/HzesT47x.png)
Ciąg jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg
![(2a ,2b ,c+ 1 )](https://img.zadania.info/zes/0081303/HzesT49x.png)
jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek . Oblicz
oraz
.
Czworokąt wypukły jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty
i
są proste (zobacz rysunek). Przekątne
i
tego czworokąta przecinają się w punkcie
tak, że
oraz
.
Oblicz długości boków czworokąta .
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne , w których odcinek łączący punkt
przecięcia przekątnych
i
podstawy
z dowolnym wierzchołkiem podstawy
ma długość
(zobacz rysunek).
-
Wyznacz zależność objętości
graniastosłupa od jego wysokości
i podaj dziedzinę funkcji
.
-
Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.