/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 23 sierpnia 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 sin2x − 7 cosx − 5 = 0 należące do przedziału ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 2
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |2x + 2|+ |x− 2| > 5 .

Zadanie 3
(5 pkt)

Dane są punkty A = (1,5), B = (9,3) i prosta k o równaniu y = x + 1 . Oblicz współrzędne punktu C leżącego na prostej k , dla którego suma |AC |2 + |BC |2 jest najmniejsza.

Zadanie 4
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 − (m − 4)x + m 2 − 4m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 3 2m − 3 .

Zadanie 5
(4 pkt)

Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem 2 f(x ) = x − 4|x| i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania f (x) = m w zależności od wartości parametru m .

Zadanie 6
(4 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b spełniona jest nierówność

∘ -------- ∘ -------- 4 a4 +-b4 a2 +-b2 2 ≥ 2 .

Zadanie 7
(5 pkt)

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa √ -- 12 3 , a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

Zadanie 8
(4 pkt)

Odcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC . Kąty trójkąta ABC mają miary |∡CAB | = 42 ∘, |∡ABC | = 78 ∘ . Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie C przecina prostą AB w punkcie E (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE .

PIC

Zadanie 9
(4 pkt)

Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 10
(6 pkt)

Punkt A = (2 ,− 3 ) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 300. Punkt S = (3,4) jest środkiem symetrii tego rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Zadanie 11
(5 pkt)

Ciąg (a,b,c) jest geometryczny i a + b + c = 2 6 , zaś ciąg (a− 5,b− 4,c− 11) jest arytmetyczny. Oblicz a,b,c .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania