/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (OKE Poznań)
poziom rozszerzony 11 stycznia 2012 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Jednym z pierwiastków wielomianu W (x) = x3 + mx 2 + nx + 2 jest liczba 1. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x+ 1 jest równa 4. Oblicz współczynniki m i n .

Zadanie 2
(4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + sin xco s2x = 1+sinx- 4 w przedziale ⟨0,2 π⟩ .

Zadanie 3
(5 pkt)

Uzasadnij, że 61 16 < 1824 .

Zadanie 4
(5 pkt)

Kulę o promieniu R przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. Przekroje mają promienie r1 oraz r2 i są odległe od siebie o a . Liczby r1,a,r2 w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 18. Znajdź długość promienia kuli.

PIC

Zadanie 5
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 |2x − 4|+ 4x > |2x − 4| .

Zadanie 6
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których jedno rozwiązanie równania

2 (m + 2)x + 2mx + 1 = 0

jest sinusem, a drugie cosinusem tego samego kąta?

Zadanie 7
(4 pkt)

W układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x ) , gdzie f (x) = loga(x − k) + m . Wyznacz wartości a,k,m .

PIC

Zadanie 8
(4 pkt)

Pole trójkąta ABC o danych wierzchołkach A = (1,− 2) oraz B = (2,3) jest równe 4,5. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka wiedząc, że należy on do prostej o równaniu x+ y− 2 = 0 .

Zadanie 9
(6 pkt)

Na bokach AC i BC trójkąta ABC obrano punkty P i Q takie, że |AP | : |P C| = 2 : 1 oraz |BQ | : |QC | = 2 : 1 . Odcinki AQ i BP przecinają się w punkcie R . Wykaż, że pole czworokąta CP RQ jest równe polu trójkąta ARP .

Zadanie 10
(4 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątne ścian bocznych, wychodzące z tego samego wierzchołka, mają długość d i tworzą kąt o mierze α . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 11
(4 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch jedynek lub trzech szóstek w doświadczeniu losowym, polegającym na pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania