/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 10 marca 2012 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 |x + 6x − 7| > 6 + |x + 7| .

Zadanie 2
(4 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n7 − n jest podzielna przez 7.

Zadanie 3
(4 pkt)

Dla jakich wartości parametru m ∈ R wierzchołek paraboli y = x2 + 2(m + 1)x + m − 4 leży najbliżej prostej y = − 4 ?

Zadanie 4
(4 pkt)

W trójkącie ABC środkowa AD jest prostopadła do boku AC . Kąt BAC ma miarę ∘ 120 . Wykaż, że |AB | = 2|AC | .

Zadanie 5
(5 pkt)

Rozwiąż równanie 7 (2 − co s2x)(2 + cos 2x) = sin xco sx + 2 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 6
(5 pkt)

Różnica ciągu arytmetycznego an = log 3xn jest równa − 1+ lo g32 . Oblicz a1 jeżeli wiadomo, że

x 1 + x 2 + ⋅⋅ ⋅+ x10 = 910 − 610.

Zadanie 7
(5 pkt)

Wielomiany 4 3 2 W (x) = x + ax + 12x + bx + 4 oraz P(x) są wielomianami o współczynnikach całkowitych, przy czym W (x ) = [P (x)]2 . Wyznacz wszystkie możliwe wartości a i b .

Zadanie 8
(3 pkt)

Udowodnij, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny, ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu.

Zadanie 9
(5 pkt)

Z punktu A = (− 9,12 ) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu x 2 − 12x + y2 + 16y = 25 . Oblicz długość odcinka łączącego punkty styczności.

Zadanie 10
(6 pkt)

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.

Zadanie 11
(4 pkt)

Ze zbioru {1 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,11,12} losujemy podzbiór trójelementowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn liczb będących elementami wylosowanego podzbioru jest liczbą parzystą?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania