/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 9 maja 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba (∘ ----√--- ∘ ----√--)2 2 − 3 − 2+ 3 jest równa
A) 2 B) 4 C) √ -- 3 D) √ -- 2 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem 2 an = (n-−130n)(22−-3n) 2n +n + 3 dla n ≥ 1 . Wtedy
A) 1 n→lim+ ∞ an = 2 B) nl→im+∞ an = 0 C) lim a = − ∞ n→ + ∞ n D) lim a = − 3 n→ +∞ n 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Odcinek CD jest wysokością trójkąta ABC , w którym 1 |AD | = |CD | = 2|BC | (zobacz rysunek). Okrąg o środku C i promieniu CD jest styczny do prostej AB . Okrąg ten przecina boki AC i BC trójkąta odpowiednio w punktach K i L .

PIC

Zaznaczony na rysunku kąt α wpisany w okrąg jest równy
A) 37,5∘ B) 45∘ C) 52 ,5 ∘ D) 60∘

Zadanie 4
(1 pkt)

Dane są punkt B = (− 4,7) i wektor → u = [−3 ,5] . Punkt A , taki, że −→ → AB = − 3u , ma współrzędne
A) A = (5,− 8) B) A = (− 13,2 2) C) A = (9,− 15) D) A = (12,24)

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu 3 W (x) = x3 − 2x2 + ax + 4 przez dwumian x− 2 jest równa 1. Oblicz wartość współczynnika a .

Zadanie 6
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = xx−2+11 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P = (1,0) .

Zadanie 7
(3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x ,y prawdziwa jest nierówność

x2y2 + 2x 2 + 2y 2 − 8xy + 4 > 0.

Zadanie 8
(3 pkt)

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c , długość boku BC jest równa a oraz |∡ABC | = β . Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E . Wykaż, że długość odcinka BE jest równa β 2ac⋅cos-2 a+c .

Zadanie 9
(4 pkt)

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna π , równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej 287 objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka S kuli od płaszczyzny π , tj. długość najkrótszego spośród odcinków SP , gdzie P jest punktem płaszczyzny π .

Zadanie 10
(4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x + 3 cos x = − 2 w przedziale ⟨0,2 π⟩ .

Zadanie 11
(4 pkt)

W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

4x2 − 6mx + (2m + 3)(m − 3) = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 i x 2 , przy czym x < x 1 2 , spełniające warunek

(4x 1 − 4x 2 − 1 )(4x 1 − 4x2 + 1) < 0.

Zadanie 13
(5 pkt)

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = (− 5,3) i B = (0,6) , którego środek leży na prostej o równaniu x − 3y + 1 = 0 .

Zadanie 14
(6 pkt)

Liczby a,b,c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a− 2 ,b,2c+ 1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c .

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P . Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania