/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Lubelska próba przed maturą
z matematyki (dla klas trzecich)
poziom rozszerzony 12 stycznia 2011 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem ∘ ----------------- f(x) = |x + 3| − |x− 5| .

Zadanie 2
(4 pkt)

Nieskończony ciąg liczbowy (an) określony jest wzorem:

{ 2n dla n parzystych an = − 2n + 4 dla n nieparzystych
  • Wyznacz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu.
  • Zbadaj, czy istnieje wyraz ciągu równy 5. Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 3
(6 pkt)

W kąt o mierze 60∘ wpisano pięć kół tak, że każde następne koło poza pierwszym, jest styczne zewnętrznie do koła poprzedniego. Oblicz ile razy suma pól wszystkich kół jest większa od pola najmniejszego koła.

Zadanie 4
(4 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji |x2−9|- f(x) = x2−9 . Określ dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji.

Zadanie 5
(5 pkt)

Wyznacz zbiór wartości parametru m , dla których równanie: cos2x − cosx = m ma rozwiązania.

Zadanie 6
(5 pkt)

Prosta x− y− 1 = 0 jest osią symetrii pewnego czworokąta wpisanego w okrąg. Punkty (1,0),(5 ,− 2 ) są jego wierzchołkami. Znajdź pozostałe wierzchołki.

Zadanie 7
(5 pkt)

Trapez równoramienny o obwodzie 20 dm i przekątnej długości √ --- 41 dm jest opisany na okręgu. Oblicz jego pole i cosinusy jego kątów wewnętrznych.

Zadanie 8
(4 pkt)

Do naczynia w kształcie odwróconego stożka wrzucono kulkę o promieniu r = 3 cm . Oceń, czy kulka będzie wystawać nad brzeg naczynia. Uzasadnij odpowiedź wykonując odpowiednie obliczenia, jeżeli wiadomo, że wysokość stożka wynosi 12 cm a promień podstawy 4 cm.

Zadanie 9
(4 pkt)

Udowodnij, że 4 2 -4n−-32n+-1- n −n − 2n−1 , dla n ∈ N i n > 2 jest ułamkiem właściwym.

Zadanie 10
(5 pkt)

Ile maksymalnie kul zielonych można włożyć do urny, w której jest 7 kul czerwonych, aby prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul różnokolorowych było większe lub równe 1 4 ?

Zadanie 11
(4 pkt)

W trapezie ABCD połączono środek M ramienia trapezu AD z końcami drugiego ramienia BC . Wykaż, że pole powstałego trójkąta BMC jest równe połowie pola trapezu ABCD .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania