/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony Matura 2008/2009 Informator CKE Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(6 pkt)

Dany jest ciąg (an ) o wyrazie ogólnym a = 5−3n- n 7 , dla n = 1,2,3,... .

  • Sprawdź, czy ciąg (an) jest arytmetyczny.
  • Oblicz, dla jakiej wartości x liczby a4,x2 + 2,a11 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Zadanie 2
(3 pkt)

Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa 400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra.

PIC

Zadanie 3
(3 pkt)

Dana jest funkcja kwadratowa 1 2 f(x) = 2x − 2 .

  • Narysuj wykres funkcji |f(x)| g(x) = f(x)- , której dziedziną jest zbiór
    (− 5,− 2) ∪ (− 2,2)∪ (2,5).
  • Zapisz zbiór rozwiązań nierówności g(x ) < 0 .

Zadanie 4
(4 pkt)

W prostokącie ABCD wierzchołek D połączono odcinkami ze środkami E i F boków AB i BC , zaś M i N to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną AC .

  • Uzasadnij, że odcinki AM ,MN i NC są jednakowej długości.
  • Uzasadnij, że trójkąty AEM i CNF mają równe pola.
PIC

Zadanie 5
(4 pkt)

Dane są punkty A = (− 4,32 ) i B = (− 36,1 6) . Wykaż, że koło o średnicy AB jest zawarte w II ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych.

Zadanie 6
(6 pkt)

Dany jest wielomian W (x) = x3 + cx2 + 7x + d .

  • Wyznacz wartości współczynników c i d wielomianu W , wiedząc, że jest podzielny przez dwumian (x+ 2) , zaś przy dzieleniu przez dwumian (x − 1) otrzymujemy resztę 3.
  • Dla c = − 5 i d = −3 rozwiąż nierówność W (x) ≤ 0 .

Zadanie 7
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 cos2x = cos x należące do przedziału ⟨0 ,2π⟩ .

Zadanie 8
(4 pkt)

Dany jest ciąg (an ) o wyrazie ogólnym 120- an = n+ 1 , dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Ze zbioru liczb {a1,a2,a3,...,a11} losujemy kolejno, trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A – wylosujemy trzy liczby całkowite, które będą kolejnymi wyrazami ciągu malejącego.

Zadanie 9
(6 pkt)

Na okręgu o danym promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD . Punkt styczności K dzieli ramię BC tak, że |CK-| 2 |KB| = 3 .

  • Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
  • Oblicz cosinus kąta CBD .

Zadanie 10
(6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a . Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45 ∘ . Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

Zadanie 11
(5 pkt)

Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o równaniu 2 2 x + y = 25 . Punkty A i B leżą na prostej o równaniu y = x − 5 .

  • Oblicz współrzędne punktów: A ,B,C .
  • Oblicz kąty trójkąta ABC .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania