/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 22 marca 2014 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Prosta k równoległa do osi Ox przecina wykres funkcji || 4|| y = |x | w dwóch punktach A i B . Wyznacz współrzędne punktów A i B jeżeli wiadomo, że razem z punktem C = (− 4,− 2) tworzą trójkąt o polu 6.

Zadanie 2
(4 pkt)

Wielomiany W (x) = x4 + px 3 + 23x 2 + qx+ 1 oraz P(x ) są wielomianami o współczynnikach całkowitych, przy czym 2 W (x ) = [P (x)] . Wyznacz wszystkie możliwe wartości p i q .

Zadanie 3
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 2 2 sin x − 2 sin x cosx = 1− cosx w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 4
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność 3 2 11x − 4x ≥ 8x + 3 .

Zadanie 5
(6 pkt)

Dane są punkty A (− 2,5),B (3,− 5) . Punkt C należy do okręgu o równaniu 2 2 (x + 2) + y = 2 5 . Znajdź współrzędne punktu C tak, aby pole trójkąta ABC było największe. Oblicz to pole.

Zadanie 6
(4 pkt)

Wielomian 4 3 2 W (x) = 3x + ax − 2x − 7x + b jest podzielny przez dwumian (x − 2) , a przy dzieleniu przez (x − 1) daje resztę 3. Wyznacz a i b .

Zadanie 7
(4 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC dwusieczna kąta prostego przecina przeciwprostokątną BC w punkcie D . Środek okręgu wpisanego w ten trójkąt dzieli odcinek AD w stosunku √ -- √ -- 3 : 2 , licząc od punktu A . Oblicz miary kątów ostrych trójkąta ABC .

Zadanie 8
(5 pkt)

Liczby a,b,c mają tę własność, że każdy z ciągów: (a,b,c) , (a + 1,b + 2,c + 4) i (a − 2,b + 1,c − 13) jest ciągiem geometrycznym. Oblicz a ,b ,c .

Zadanie 9
(4 pkt)

Czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym, w którym AB ∥ CD . Wykaż że

2 2 2 2 |AC | + |BD | = |AD | + |BC | + 2|AB |⋅|DC |.

Zadanie 10
(5 pkt)

Do windy na parterze budynku wsiadło 6 osób, po czym każda z nich w sposób losowy wysiadła na jednym z trzech pięter budynku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnym z pięter nie wysiadły więcej niż 4 osoby?

Zadanie 11
(5 pkt)

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano sześcian tak, że jego cztery wierzchołki należą do krawędzi bocznych ostrosłupa, a pozostałe do płaszczyzny podstawy. Oblicz długość krawędzi sześcianu, jeżeli wysokość ostrosłupa jest równa H , a długość jego krawędzi podstawy jest równa a .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania