/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 14 maja 2007 Czas pracy: 120 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Znajdź wzór funkcji kwadratowej y = f (x) , której wykresem jest parabola o wierzchołku (1,− 9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,− 8) . Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.

Zadanie 2
(3 pkt)

Wysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej transakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji. Zależność ta została przedstawiona w tabeli:

Wartość transakcji Wysokość prowizji
do 500 zł 15 zł
od 500,01 zł do 3000 zł 2% wartości transakcji + 5 zł
od 3000,01 zł do 8000 zł 1,5% wartości transakcji + 20 zł
od 8000,01 zł do 15000 zł 1% wartości transakcji + 60 zł
powyżej 15000 zł 0,7% wartości transakcji + 105 zł

Klient zakupił za pośrednictwem tego biura maklerskiego 530 akcji w cenie 25 zł za jedną akcję. Po roku sprzedał wszystkie kupione akcje po 45 zł za jedną sztukę. Oblicz, ile zarobił na tych transakcjach po uwzględnieniu prowizji, które zapłacił.

Zadanie 3
(4 pkt)

Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia:

∘ ---------- tg 2β − 5 sin β ⋅ctgα + 1− cos2α

PIC

Zadanie 4
(5 pkt)

Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.

Zadanie 5
(5 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) , gdzie n ≥ 1 . Wiadomo, że dla każdego n ≥ 1 suma n początkowych wyrazów Sn = a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an wyraża się wzorem: S = −n 2 + 13n n .

  • Wyznacz wzór na n –ty wyraz ciągu an .
  • Oblicz a2007 .
  • Wyznacz liczbę n , dla której an = 0 . .

Zadanie 6
(4 pkt)

Dany jest wielomian W (x) = 2x3 + ax2 − 14x + b .

  1. Dla a = 0 i b = 0 otrzymamy wielomian W (x) = 2x 3 − 14x . Rozwiąż równanie 3 2x − 14x = 0 .
  2. Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W (x) był podzielny jednocześnie przez x− 2 oraz x+ 3 .

Zadanie 7
(5 pkt)

Dany jest punkt C = (2,3) i prosta o równaniu y = 2x− 8 będąca symetralną odcinka BC . Wyznacz współrzędne punktu B . Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.

Zadanie 8
(4 pkt)

Na stole leżało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100 zł, 2 banknoty o nominale 50 zł i 10 banknotów o nominale 20 zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130 zł. Odpowiedź podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 9
(6 pkt)

Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD , w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: ∡A = 90 ∘ , ∡B = 75∘ , ∡C = 6 0∘ , ∡D = 1 35∘ , a boki AB i AD mają długość 3 cm. Sporządź rysunek pomocniczy.

Zadanie 10
(5 pkt)

Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEF GH o podstawach ABCD i EF GH oraz krawędziach bocznych AE , BF , CG , DH . Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60∘ . Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ∘ 6 0 . Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 11
(4 pkt)

Dany jest rosnący ciąg geometryczny (an) dla n ≥ 1 , w którym a1 = x , a2 = 14 , a3 = y . Oblicz x oraz y , jeżeli wiadomo, że x + y = 3 5 .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania