/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 9 czerwca 2020 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 2 x − 6x + 9 dla √ -- x = 3+ 3 jest równa
A) 1 B) 3 C) √ -- 1 + 2 3 D) √ -- 1 − 2 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba 50 40 2-⋅310- 36 jest równa
A) 70 6 B) 45 6 C) 30 20 2 ⋅3 D) 10 20 2 ⋅3

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba log √ 125- 5 jest równa
A) 23 B) 2 C) 3 D) 3 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Cenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y . Aby przywrócić cenę x , nową cenę y należy podnieść o
A) o 25% B) o 20% C) o 15% D) o 12%

Zadanie 5
(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3(1 − x ) > 2(3x − 1) − 12x jest przedział
A) ( ) − 53,+ ∞ B) ( ) − ∞ , 53 C) ( 5,+ ∞ ) 3 D) (− ∞ ,− 5) 3

Zadanie 6
(1 pkt)

Suma wszystkich rozwiązań równania x (x− 3)(x + 2) = 0 jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Informacja do zadań 7 – 9

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f (x) = a(x − 1)(x − 3) . Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2,1) .

PIC
Zadanie 7
(1 pkt)

Współczynnik a we wzorze funkcji f jest równy
A) 1 B) 2 C) − 2 D) − 1

Zadanie 8
(1 pkt)

Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨1 ,4⟩ jest równa
A) − 3 B) 0 C) 1 D) 2

Zadanie 9
(1 pkt)

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu
A) x = 1 B) x = 2 C) y = 1 D) y = 2

Zadanie 10
(1 pkt)

Równanie x (x − 2) = (x − 2)2 w zbiorze liczb rzeczywistych
A) nie ma rozwiązań
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 2
C) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0
D) ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = 2

Zadanie 11
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem f (x) = ax + b .

PIC

Współczynniki a oraz b we wzorze funkcji f spełniają zależność
A) a + b > 0 B) a+ b = 0 C) a ⋅b > 0 D) a⋅ b < 0

Zadanie 12
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = 4−x + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Liczba ( 1) f 2 jest równa
A) 1 2 B) 3 2 C) 3 D) 17

Zadanie 13
(1 pkt)

Proste o równaniach y = (m − 2)x oraz y = 3x + 7 4 są równoległe. Wtedy
A) 5 m = − 4 B) 2 m = 3 C) m = 114 D) m = 103

Zadanie 14
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = 2n 2 dla n ≥ 1 . Różnica a5 − a4 jest równa
A) 4 B) 20 C) 36 D) 18

Zadanie 15
(1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma a1 + a2 + a3 + a4 jest równa
A) − 42 B) − 36 C) − 18 D) 6

Zadanie 16
(1 pkt)

Punkt ( 1 ) A = 3,− 1 należy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem f(x ) = 3x + b . Wynika stąd, że
A) b = 2 B) b = 1 C) b = −1 D) b = − 2

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkty A ,B ,C ,D leżą na okręgu o środku w punkcie O . Kąt środkowy DOC ma miarę ∘ 11 8 (zobacz rysunek).

PIC

Miara kąta ABC jest równa
A) 59∘ B) 4 8∘ C) 62∘ D) 31∘

Zadanie 18
(1 pkt)

Prosta przechodząca przez punkty A = (3 ,−2 ) i B = (− 1,6) jest określona równaniem
A) y = − 2x + 4 B) y = − 2x − 8 C) y = 2x + 8 D) y = 2x− 4

Zadanie 19
(1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α i β (zobacz rysunek).

PIC

Wyrażenie 2cos α − sinβ jest równe
A) 2 sin β B) cosα C) 0 D) 2

Zadanie 20
(1 pkt)

Punkt B jest obrazem punktu A = (− 3,5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka AB jest równa
A) √ --- 2 34 B) 8 C) √ --- 34 D) 12

Zadanie 21
(1 pkt)

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25

Zadanie 22
(1 pkt)

Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R , takie, że |AP| |CR-| 3 |PB| = |RD | = 2 (zobacz rysunek)

PIC

Pole czworokąta AP CR jest równe
A) 36 B) 40 C) 54 D) 60

Zadanie 23
(1 pkt)

Cztery liczby: 2, 3, a , 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem
A) a = 7 B) a = 6 C) a = 5 D) a = 4

Zadanie 24
(1 pkt)

Przekątna sześcianu ma długość √ -- 4 3 . Pole powierzchni tego sześcianu jest równe
A) 96 B) √ -- 24 3 C) 192 D) √ -- 16 3

Zadanie 25
(1 pkt)

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3 : 2. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 12 cm 3 .

PIC

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa
A) 20 cm 3 B) 3 0 cm 3 C) 39 cm 3 D) 52,5 cm 3

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2(x − 1 )(x+ 3) > x − 1 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 2 2 (x − 1)(x − 2x ) = 0 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

2 a(a − 2b) + 2b > 0.

Zadanie 29
(2 pkt)

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE | = 34|CD | . Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |CF | = 196|CB | .

Zadanie 30
(2 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Zadanie 31
(2 pkt)

Kąt α jest ostry i spełnia warunek 2sin-α+3cosα = 4 cosα . Oblicz tangens kąta α .

Zadanie 32
(4 pkt)

Dany jest kwadrat ABCD , w którym ( ) A = 5,− 5 3 . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu 4 y = 3x . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD .

Zadanie 33
(4 pkt)

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a 1 − 5a 2 + a3 = 0 . Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału ⟨ -- -⟩ 2√ 2,3√ 2 .

Zadanie 34
(5 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS , którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy √ -- 7 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania